Bài tập 8 trang 91 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Để tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\), ta thực hiện các bước sau:

+ Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua H và vuông góc với \(\small (\alpha )\).

+ Tìm tọa độ giao điểm của \(\Delta\) và \(\small (\alpha )\) chính là tọa độ điểm H cần tìm.

Điểm M' đối xứng với M qua \(\small (\alpha )\), suy ra H chính là trung điểm của MM'.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đến tính khoảng cách từ M đến \(\small (\alpha )\) hoặc tính độ dài MH cũng chính là khoảng cách từ M đến \(\small (\alpha )\).

Lời giải:

Câu a:

Mặt phẳng \((\alpha )\) vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =(1;1;1)\)

Gọi \(\Delta\) là đường thẳng đi qua M và vuông góc với \((\alpha )\), suy ra \(\vec{n}_\alpha =(1;1;1)\) là một vectơ chỉ phương của  \(\Delta\).

Vậy phương trình tham số của \(\Delta\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 4 + y\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\)

Toạ độ H lầ nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t \ \ (1)\\ y=4+t \ \ (2)\\ z=2+t \ \ (3)\\ x+y+z-1=0 \ \ (4)\end{matrix}\right.\)

Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được:

1 + t + 4 + t + 2 + t - 1= 0 ⇔ 3t + 6 = 0 ⇔ t = -2

Khi đó x = -1; y= -2; z = 0.

Vậy H(-1;2;0).

Câu b:

Gọi M' là điểm đối xứng của M qua \((\alpha )\).

Suy ra H là trung điểm của MM'.

Nên: \(\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_M} + {x_{M'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_M} + {y_{M'}}}}{2}\\ {z_H} = \frac{{{z_M} + {z_{M'}}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = - 3\\ {y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 0\\ {z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = - 2 \end{array} \right.\)

Vậy M'(-3 ; 0 ;2).

Câu c: 

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \((\alpha )\):

Áp dụng công thức ta có:

\({d_{\left( {M,\left( \alpha  \right)} \right)}} = \frac{{\left| {1 + 4 + 2 - 1} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 1} }} = \frac{6}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \).

-- Mod Toán 12 HỌC247