ON
YOMEDIA
VIDEO

Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình: 

\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\)

\(\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\)

a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α)

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương , mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = (2;3;5)\).

Gọi φ là góc giữa d và (α) thì 0 ≤ φ ≤ 900 và 

\(\begin{array}{l}
\sin \varphi  = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|}}\\
 = \frac{{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{6}{{\sqrt {57} }}
\end{array}\)

b) Phương trình tham số 

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y =  - 1 + 3t\\
z = 1 + 5t
\end{array} \right.\)

Thay x, y, z vào phương trình (α) ta có: 

\(2(2 + 2t) + ( - 1 + 3t) + (1 + 5t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right)\)

c) Gọi (β) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (α) thì hình chiếu d’ của d trên (α) là giao tuyến của (α) và (β).

Bởi vậy ta cần tìm phương trình của (β).

Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của (β) vuông góc với cả \(\overrightarrow u ;\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\vec u,\vec n} \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\)

(β) đi qua d nên cũng đi qua điểm A(2; −1; 1). Do đó (β) có phương trình:

\(\begin{array}{l}
 - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow  - x + 4y - 2z + 8 = 0
\end{array}\)

Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\begin{array}{l}
\vec a = [\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} ]\\
 = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
4&{ - 2}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 2}&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
{ - 1}&4
\end{array}} \right|} \right)\\
 = ( - 6;3;9) = 3( - 2;1;3)
\end{array}\)

Vậy d' có phương trình tham số: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3} - 2t\\
y = t\\
z = \frac{8}{3} + 3t
\end{array} \right.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
  • Lê Vinh

    Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1;2;-3) và hai đường thẳng \(d_1\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ x=-2-t\\ z=2t \end{matrix}\right., d_2\left\{\begin{matrix} x=2\\ y=2+t\\ z=5t \end{matrix}\right.\)  . Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vuông góc với dvà cắt d2.

    Theo dõi (0) 3 Trả lời
  •  
     
    Chai Chai

    Trong mặt phẳng Oxyz cho hai đường thẳng: \(d_1=\left\{\begin{matrix} x=1\\ y=4+2t\\ z=3+t \end{matrix}\right.\)   \(d_2=\left\{\begin{matrix} x=-3t\\ y=3+t\\ z=-2 \end{matrix}\right.\)
    Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1, d2 và phương trình mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1, d2.

    Theo dõi (0) 2 Trả lời

 

YOMEDIA
1=>1