Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 12 Bài 3 Phương trình đường thẳng sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 89 SGK Hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;
b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);
c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).
-
Bài tập 2 trang 89 SGK Hình học 12
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) (Oxy).
b) (Oyz).
-
Bài tập 3 trang 90 SGK Hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:
a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;
b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)
-
Bài tập 4 trang 90 SGK Hình học 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\) \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\)
-
Bài tập 5 trang 90 SGK Hình học 12
Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);
b) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;c) d: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\) và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\). -
Bài tập 6 trang 90 SGK Hình học 12
Tính khoảng cách giữa đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).
-
Bài tập 7 trang 91 SGK Hình học 12
Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
-
Bài tập 8 trang 91 SGK Hình học 12
Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).
-
Bài tập 9 trang 91 SGK Hình học 12
Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\) và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.
-
Bài tập 10 trang 91 SGK Hình học 12
Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C).
-
Bài tập 3.31 trang 129 SBT Hình học 12
Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:
a) \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;
b) \(\Delta \) đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + z + 9 = 0
c) \(\Delta \) đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)
-
Bài tập 3.32 trang 129 SBT Hình học 12
Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d1: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\) -
Bài tập 3.33 trang 129 SBT Hình học 12
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:
a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)
b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = - t\\
y = 3t\\
z = - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\) -
Bài tập 3.34 trang 129 SBT Hình học 12
Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\) -
Bài tập 3.35 trang 129 SBT Hình học 12
Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0 -
Bài tập 3.36 trang 130 SBT Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)
-
Bài tập 3.37 trang 130 SBT Hình học 12
Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0
a) Chứng minh rằng \(\Delta \) song song với \((\alpha )\).
b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).
-
Bài tập 3.38 trang 130 SBT Hình học 12
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:
a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z = - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z = - 3t'}
\end{array}} \right.\) -
Bài tập 3.39 trang 130 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)
\({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)
a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;
b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.
-
Bài tập 3.40 trang 130 SBT Hình học 12
Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)
a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;
b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.
-
Bài tập 3.42 trang 131 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng: \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t'}\\
{y = 3 - 2t'}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\)Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.
-
Bài tập 3.43 trang 131 SBT Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và DD’.
-
Bài tập 3.44 trang 131 SBT Hình học 12
Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y +z – 1 = 0 và đường thẳng \(d: \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}\)
Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\) , hãy viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).
-
Bài tập 3.45 trang 131 SBT Hình học 12
Cho hai đường thẳng d1: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{4}\) và d2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 7 + 3t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 1 - 2t}
\end{array}} \right.\)a) Chứng minh rằng d1 và d2 cùng nằm trong một mặt phẳng\((\alpha )\).
b) Viết phương trình của \((\alpha )\).
-
Bài tập 24 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
b) Các đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0 ; z0) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\) và song song với mỗi trục tọa độ;
c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = ( - 1;3;5)\)
d) Đường thẳng đi qua N(−2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = ( 0; 0; -3)\)
e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x − 5y + 4 = 0
g) Đường thẳng đi qua P(2; 3; −1) và Q(1; 2; 4)
-
Bài tập 25 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = - 3t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)
-
Bài tập 26 trang 102 SGK Hình học 12 NC
Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.
-
Bài tập 27 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 8 + 4t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)Và mặt phẳng (P): x + y + z − 7 = 0
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
-
Bài tập 28 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:
a)
\(d:\frac{{x - 1}}{2} = y - 7 = \frac{{z - 3}}{4};\)
\(d':\frac{{x - 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\)
b)
\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr
y = - 3 - 4t \hfill \cr
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x + y - z = 0,\) \(\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).
-
Bài tập 29 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; −1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau:
\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = t\\
z = 3 - t
\end{array} \right.;d\prime :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = - 1 - 2t\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\) -
Bài tập 30 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình của d1, d2 và d3 là:
\(\begin{array}{l}
{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 2 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\\
{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\\
{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}
x = - 4 + 5t'\\
y = - 7 + 5t'\\
z = t'
\end{array} \right.
\end{array}\) -
Bài tập 31 trang 103 SGK Hình học 12 NC
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;\)\({d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)
a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
-
Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình:
\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\)
\(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\)
a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α) -
Bài tập 33 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Cho đường thẳng Δ và mp(P) có phương trình:
\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2};\)
\(\left( P \right):2x + z - 5 = 0\)
a) Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ
-
Bài tập 34 trang 104 SGK Hình học 12 NC
a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)
b) Tính khoảng cách từ điểm N(2;3;−1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm \({M_0}\left( { - \frac{1}{2};0; - \frac{3}{4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 4;2; - 1} \right)\)
-
Bài tập 35 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 3t'\\
y = - 2 - 3t'\\
z = 3
\end{array} \right.\)b) \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};\)
\(d':\left\{ \begin{array}{l}
x = - t'\\
y = 2 + 3t'\\
z = - 4 + 3t'
\end{array} \right.\)