Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Với bài 2 ta có hai cách giải thường được sử dụng:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 2 bằng 2 cách:

• Cách 1: Áp dụng bất đăng thức cô-si

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (0 < x, y < 16).

Khi đó x + y = 8.

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có: 

\(8=x+y\geq 2 \sqrt {x.y}\Rightarrow xy\leq 16.\)

\(xy=16\Leftrightarrow x=y=4.\)

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn nhất bằng 16 cm² khi x = y = 4(cm), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

• Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (8>x>0; 8>y>0).

Khi đó chu vi: p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x.

Ta có diện tích của hình chữ nhật là S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x²+8x.

Xét hàm số: S(x) = -x²+8x trên khoảng (0,8) ta có:

S'=-2x+8; S'=0 ⇔ x=4

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại x=4 khi đó maxS = 16.

Với x=4 suy ra y=4.

Vậy hình vuông có cạnh bằng 4 là hình có diện tích lớn nhất.

-- Mod Toán 12 HỌC247