Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 tr 24 sách GK Toán GT lớp 12

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Với bài 3 ta có hai cách giải thường được sử dụng như sau:

+ Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si đã học ở lớp 10.

+ Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số như nội dung bài vừa học.

Dưới đây là hướng dẫn giải chi tiết bài 3 bằng 2 cách nêu trên:

  • Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

Kí hiệu x, y thứ tự là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x, y > 0).

Khi đó xy = 48.
Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có : 


Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ nhất bằng  (m) khi  (m), tức là khi hình chữ nhật là hình vuông.

  • Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Gọi x,y lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật (x>0,y>0)

Ta có:

Khi đó chu vi của hình chữ nhật là \(p=2(x+y) \Leftrightarrow p=2x+\frac{96}{x}.\)

Xét hàm số \(p(x)=2x+\frac{96}{x}.\) trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

\(p'(x) = 2 - \frac{{96}}{{{x^2}}};\,\,p'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 4\sqrt 3 {\mkern 1mu}\) (do x>0).

Bảng biến thiên:

Tìm hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48 m2

Từ bảng biến thiên ta có: \(\min p = 16\sqrt 3\) khi \(x = 4\sqrt 3 \,\).

Với \(x = 4\sqrt 3 \,\Rightarrow y=\frac{48}{x}=4\sqrt 3\).

Vậy hình vuông có cạnh \(4\sqrt 3 \,\) là hình có chu vi nhỏ nhất theo yêu cầu bài toán.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ