Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Nội dung bài học sẽ giúp các em nắm được khái niệm Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một miền, các phương pháp ứng dụng đạo hàm để tìm Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đi kèm với những ví dụ minh họa sẽ giúp các em hình thành và phát triển kĩ năng giải bài tập ở dạng toán này.

Hãy đăng ký kênh Youtube HOC247 TV để theo dõi Video mới

Tóm tắt lý thuyết

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập D.

  • M được gọi là GTLN của \(f(x)\) trên D nếu: \(\left\{\begin{matrix} f(x)\leq M\\ \exists x_0, f(x_0)=M \end{matrix}\right.\).

  • m được gọi là GTNN của \(f(x)\) trên D nếu:  \(\left\{\begin{matrix} m\leq f(x), \forall x\in D\\ \forall x_0\in D, f(x_0)=m \end{matrix}\right.\).

2.2. Các phương pháp tìm GTLN và GTNN của hàm số

a) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D 

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f(x)\) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.

b) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

  • Định lý: Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

  •  Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)

    • Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.

    • Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).

    • Khi đó :  

Bài tập minh họa

3.1. Dạng 1: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên miền D

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

b) Hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1},x\in(1;3].\)

Lời giải:

a) Hàm số \(y=x^3-3x^2-9x+5\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}.\)

  • \(y'=3x^2-6x-9.\)

  • \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\)

  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b)  Xét hàm số \(y=\frac{x^2+2x+3}{x-1}\) xác định trên \((1;3].\)

  • ​\(y'=\frac{x^2-2x-5}{(x+1)^2}\)

  • \(y' = 0 \Rightarrow {x^2} - 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 + \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right]\\ x = 1 - \sqrt 6 \notin \left( {1;3} \right] \end{array} \right.\)

  • Bảng biến thiên:

  • Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất \(\mathop {Min}\limits_{x \in (1;3]} y = 9\), Hàm số không có giá trị lớn nhất.

3.2. Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn

Tìm GTLN-GTNN của các hàm số sau:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\).

c) Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

Lời giải:

 a) Hàm số \(y = f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ { - 1;0} \right]\).

  • \({f^/}\left( x \right) = - {x^2} + 2x - 2\)

  • \({f^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x - 2 = 0\)

  • Ta có: \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{11}}{3};f\left( 0 \right) = 1\).

  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \frac{{11}}{3}\); \(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = 1\)

b) Hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]\)

  • \({f^/}\left( x \right) = - \frac{5}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in\left [ -\frac{1}{2};1 \right ]\)

  • Ta có: \(f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = 0;f\left( 1 \right) = - 3\)

  • Vậy: \(\mathop {\max f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = 0\); \(\mathop {min f\left( x \right)}\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};1} \right]} = - 3\)

c)  Hàm số \(y = f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2\).

  • TXĐ: \(D=\mathbb{R}\)

  • Ta có: \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x - 2\cos x + 2 = - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - 2co{\mathop{\rm s}\nolimits} x + 3\)

  • Đặt: \(t = {\cos ^2}x\) suy ra \(t \in \left[ { - 1;1} \right];\forall x \in \mathbb{R}\).

  • Xét hàm số: \(g\left( t \right) = - {t^2} - 2t + 3\) trên đoạn \([-1;1]\).

    • Ta có: \({g^/}\left( t \right) = - 2t - 2\)

    •   \({g^/}\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1\)

    • Tính: \(g\left( { - 1} \right) = 4;g\left( 1 \right) = 0\).

  • Vậy: \(\max f(x) = \mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 4\); \(\min f(x) = \mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 1;1]} g(t) = 0\).

4. Luyện tập Bải 3 Toán 12

HOC247 giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất, trọng tâm bài học các em cần phải nắm được hai phương pháp tìm Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

4.1. Trắc nghiệm GTLN và GTNN của hàm số

Để kiểm tra xem đã nắm được bài học hay chưa, cũng như rèn luyện khả năng giải bài tập, xin mời các em làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 3. 

Câu 2- Câu 5: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

4.2. Bài tập SGK và Nâng cao Bài 3 Chương 1

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 24 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 24 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 24 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 24 SGK Giải tích 12

Bài tập 18 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 19 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bài tập 20 trang 22 SGK Giải tích 12 Nâng cao

5. Hỏi đáp về GTLN và GTNN của hàm số

Nếu có thắc mắc cần giải đáp, các em có thể đặt câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

-- Mod Toán Học 12 HỌC247

Được đề xuất cho bạn