Bài tập 1.34 trang 21 SBT Toán 12

a) \(f\left( x \right) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn  [−4;4].
 \(f'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\)
f'(x) > 0 trên khoảng (−4;0) và f′(x) < 0 trên khoảng (0;4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và f_CĐ = 5

Mặt khác, ta có f(−4) = f(4) = 3
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = 5;\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;4} \right]} f\left( x \right) = 3\)
b) \(f\left( x \right) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn [−10;10]
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2\)
Ta có: \(g'\left( x \right) = 2x - 3;g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\)

Vì \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
g\left( x \right)\,\,\,\,khi\,\,{x^2} - 3x + 2 \ge 0\\
 - g\left( x \right)\,khi\,\,{x^2} - 3x + 2 < 0
\end{array} \right.\)
nên ta có đồ thị của f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra
\(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 10;10} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 10} \right) = 132;\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 10;10} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\)
c)  \(f\left( x \right) = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\)
\(f'\left( x \right) =  - \frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x}};\)
f′(x) < 0 trên \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{2}} \right)\) và f′(x) > 0 trên \(\left( {\frac{\pi }{2};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{\pi }{2}\) và \({f_{CT}} = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\)

Mặt khác, \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{2}{{\sqrt 3 }};f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]} f\left( x \right) = 2;\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]} f\left( x \right) = 1\)

d) \(f\left( x \right) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\). 
\(f\prime \left( x \right) = 2\cos x + 2\cos 2x\)

\(= 4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2}\)
\(\begin{array}{l}
f\prime \left( x \right) = 2\cos x + 2\cos 2x\prime \left( x \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos \frac{x}{2} = 0}\\
{\cos \frac{{3x}}{2} = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \pi }\\
{x = \frac{\pi }{3}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Ta có:

\(f\left( 0 \right) = 0,f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2},f\left( \pi  \right) = 0,\)

\(f\left( {\frac{{3\pi }}{2}} \right) =  - 2\)
Từ đó ta có:

\(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]} f\left( x \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2};\mathop {min}\limits_{\left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]} f\left( x \right) =  - 2\)