Giải bài 3 tr 179 sách GK Toán ĐS & GT lớp 11
Giải các phương trình:
a) \(2sin\frac{x}{2}cos^2x-2sin\frac{x}{2}sin^2x=cos^2x-sin^2x;\)
b) \(3cosx+4sinx=5;\)
c) \(sinx+cosx=1+cosxsinx;\)
d) \(\sqrt{1-cosx}=sinx(x\in \left [ \pi ;3\pi \right ]);\)
e) \(\left ( cos\frac{x}{4} -2sinx \right )sinx+\left ( 1+sin\frac{\pi }{4}-2cosx \right )cosx=0.\)
Hướng dẫn giải chi tiết
Câu a:
Phương trình đã cho được viết lại về dạng tương đương:
\(2sin\frac{x}{2}(cos^2x-sin^2x)=cos2x\Leftrightarrow 2sin\frac{x}{2}cos2x-cos2x=0\)
\(\Leftrightarrow cos2x(2sin\frac{x}{2}-1)=0\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} cos2x=0\\ \\ sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} \end{matrix}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\\ \frac{x}{2}=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\ \frac{x}{2}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\\ x=\frac{\pi}{3}+k4\pi\\ x=\frac{5\pi}{3}+k4\pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)
Câu b:
Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng tương đương:
\(\frac{3}{5}cosx+\frac{4}{5}sinx=1.\)
Nhận thấy \(\left ( \frac{3}{5} \right )^2+\left ( \frac{4}{5} \right )^2=1\) nên \(\exists \alpha\) sao cho: \(sin\alpha =\frac{3}{5};cos\alpha =\frac{4}{5}\)
Khi đó phương trình trở thành: \(sin\alpha cosx+cos\alpha sinx=1\)
\(\Leftrightarrow sin(x+\alpha )=1\Leftrightarrow x+\alpha = \frac{\pi }{2}+k2\pi\Leftrightarrow x= \frac{\pi }{2}-\alpha +k2\pi\)\((k\in \mathbb{Z}, sin\alpha =\frac{3}{5},cos\alpha =\frac{4}{5}).\)
Câu c:
Đặt \(sinx+cosx=t\), với điều kiện \(t\in \left [ -\sqrt{2};\sqrt{2} \right ]\), ta có:
\(sinxcosx=\frac{-1+t^2}{2}\Leftrightarrow t^2-2t+1=0\Leftrightarrow t=1\)
Do đó phương trình ban đầu tương đương với:
\(sinx+cosx=1\Leftrightarrow sin(x+\frac{\pi }{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ \\ x+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}+k2\pi \end{matrix}\Leftrightarrow \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=k2\pi \\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \end{matrix}, (k\in \mathbb{Z})\)
Câu d:
Phương trình đã cho được viết lại dưới dạng tương đương:
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sinx\geq 0\\ 1-cosx=sin^2x\\ x\in \left [ \pi ;3\pi \right ] \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \left [ 2\pi ;3\pi \right ]\\ \bigg \lbrack \begin{matrix} cosx=0\\ cosx=1 \end{matrix}\\ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\in \left [ 2\pi ;3\pi \right ]\\ x=\frac{\pi }{2}+k\frac{\pi }{2}\\ x\neq 3\pi \end{matrix}\right.(k\in \mathbb{Z})\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Bigg \lbrack \begin{matrix} x=2 \pi\\ x=\frac{5\pi }{2}\\ x=3\pi \end{matrix}\\ x\neq 3\pi \end{matrix}\right.\)
Vậy trên \([\pi ;3 \pi]\) phương trình có 2 nghiệm \(x=2\pi;x=\frac{5\pi }{2}\).
Câu e:
Phương trình đã cho được viết dưới dạng tương đương:
\(cos\frac{x}{4}sinx+sin\frac{x}{4}cosx-2(sin^2x+cos^2x)+cosx=0\)
\(\Leftrightarrow sin\frac{5x}{4}+cosx=2(*)\)
Vì \(sin\frac{5x}{4}\leq 1\) và \(cosx\leq 1\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\), nên:
\((*)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{5x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} cos \frac{x}{4}sinx+sin \frac{x}{4}cosx=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ cosx=1 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin \frac{x}{4}=1\\ 2sin^2\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ sin\frac{x}{2}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ 2sin\frac{x}{4}cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} sin\frac{x}{4}=1\\ cos\frac{x}{4}=0 \end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\Leftrightarrow x=2\pi+k8\pi (k\in \mathbb{Z})\)
-- Mod Toán 11 HỌC247
-
A. \(4y.{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} = - 2{\sin ^2}2x\)
B. \(4y{\cos ^2}x - {\left( {y'} \right)^2} = 0\)
C. \(2\sin x - y' = 0\)
D. \({\sin ^2}x + y' = 1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt[3]{{ax + 1}} - \sqrt {1 - bx} }}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\3a - 5b - 1\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Xác định điều kiện của tham số a và b để hàm số liên tục tại điểm \(x = 0\).
bởi thu hằng 18/07/2021
A. \(2a - 6b = 1\)
B. \(2a - 4b = 1\)
C. \(16a - 33b = 6\)
D. \(a - 8b = 1\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{\left| {x - 1} \right|}}\).
bởi Nguyễn Sơn Ca 18/07/2021
A. 5 B. 0
C. \( + \infty \) D. -5
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tìm đạo hàm của hàm số \(y = 3\cos x + 1\).
bởi Anh Nguyễn 18/07/2021
A. \(y' = 3\sin x\)
B. \(y' = - 3\sin x + 1\)
C. \(y' = - 3\sin x\)
D. \(y' = - \sin x\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết có hàm số \(y{\rm{ = }}f\left( x \right) = {x^3}-3{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(3x + 7y - 1 = 0\).
bởi Mai Rừng 18/07/2021
Cho biết có hàm số \(y{\rm{ = }}f\left( x \right) = {x^3}-3{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(3x + 7y - 1 = 0\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết có hàm số \(y{\rm{ = }}f\left( x \right) = {x^3}-3{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\).
bởi Đan Nguyên 18/07/2021
Cho biết có hàm số \(y{\rm{ = }}f\left( x \right) = {x^3}-3{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng \( - 1\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng phương trình sau \(2{x^3} - 5x + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm.
bởi Lê Nguyễn Hạ Anh 18/07/2021
Chứng minh rằng phương trình sau \(2{x^3} - 5x + 1 = 0\) có đúng 3 nghiệm.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tìm giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\).
bởi Nguyễn Vân 17/07/2021
Thực hiện tìm giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2\sqrt {x + 1} - \sqrt[3]{{8 - x}}}}{x}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tìm giới hạn: \(\lim \frac{{{n^2} + 2n + 1}}{{2{n^2} - 1}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Kết quả của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - \sqrt[3]{{{x^3} - {x^2}}}} \right)\) là bao nhiêu?
bởi Meo Thi 18/07/2021
A. \( + \infty \). B. \( - \infty \).
C. \(0\). D. \(\frac{5}{6}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết rằng \(\lim \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^n} - {2^{n + 1}} + 1}}{{{{5.2}^n} + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^{n + 1}} - 3}} + \frac{{2{n^2} + 3}}{{{n^2} - 1}}} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{b} + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{Z}\). Tính giá trị của biểu thức \(S = {a^2} + {b^2} + {c^2}\).
bởi Nguyễn Quang Minh Tú 18/07/2021
A. \(S = 26\). B. \(S = 30\).
C. \(S = 21\). D. \(S = 31\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 178 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 179 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 9 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 10 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 11 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 12 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 13 trang 180 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 14 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 15 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 16 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 17 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 18 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 19 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 20 trang 181 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 223 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 224 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 14 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 15 trang 225 SGK Toán 11 NC
Bài tập 16 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 17 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 18 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 19 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 20 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 21 trang 226 SGK Toán 11 NC
Bài tập 22 trang 227 SGK Toán 11 NC
Bài tập 23 trang 227 SGK Toán 11 NC