Cho biết có hàm số \(y{\rm{ = }}f\left( x \right) = {x^3}-3{x^2} + 1\) có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d có phương trình \(3x + 7y - 1 = 0\).

Đường thẳng \(d:\,\,3x + 7y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow y =  - \frac{3}{7}x + \frac{1}{7}\)  có hệ số góc \(k' =  - \frac{3}{7}\).

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\). Khi đó hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là \(k = y'\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 - 6{x_0}\).

Để tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng d thì \(k.k' =  - 1\).

\( \Leftrightarrow \left( {3x_0^2 - 6{x_0}} \right).\frac{{ - 3}}{7} =  - 1\)\( \Leftrightarrow 3x_0^2 - 6{x_0} = \frac{7}{3}\)  \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{7}{3}\\{x_0} =  - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).

+ Với \({x_0} = \frac{7}{3} \Rightarrow {y_0} =  - \frac{{71}}{{27}}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = \frac{7}{3}\left( {x - \frac{7}{3}} \right) - \frac{{71}}{{27}}\)\( = \frac{7}{3}x - \frac{{218}}{{27}}\)

+ Với \({x_0} =  - \frac{1}{3} \Rightarrow {y_0} = \frac{{17}}{{27}}\), phương trình tiếp tuyến là: \(y = \frac{7}{3}\left( {x + \frac{1}{3}} \right) - \frac{{17}}{{27}}\)\( = \frac{7}{3}x + \frac{{38}}{{27}}\)

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(y = \frac{7}{3}x - \frac{{218}}{{27}}\) hoặc \(y = \frac{7}{3}x + \frac{{38}}{{27}}\).