ON
YOMEDIA
VIDEO_3D
Trang chủ Toán 11

Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC

Lý thuyết

63 BT SGK

618 FAQ

Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC

Ta đã biết \(\cos \frac{\pi }{{{2^2}}} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \). Chứng minh rằng :

a. \(\cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

b. \(\cos \frac{\pi }{{{2^n}}} = \frac{1}{2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2.

YOMEDIA

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a.

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^3}}} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 + \cos \frac{\pi }{4}}}{2}\\
 = \frac{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2 }}{4}\\
 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^3}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } 
\end{array}\)

b. Với n = 2 ta có \(\cos \frac{\pi }{4} = \frac{1}{2}\sqrt 2 \left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos \frac{\pi }{{{2^k}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) 

(k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\begin{array}{l}
{\cos ^2}\frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\left( {1 + \cos \frac{\pi }{{{2^k}}}} \right)\\
 = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
 = \frac{1}{4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)\\
 \Rightarrow \cos \frac{\pi }{{{2^{k + 1}}}} = \frac{1}{2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } 
\end{array}\)

(k dấu căn)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(\forall n \ge 2\).

 

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 225 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 14_1631286051.png
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/ma-tk-vip/?utm_source=hoc247net&utm_medium=PopUp&utm_campaign=Hoc247Net
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-09-30 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)