Toán 10 Ôn tập chương 3 Phương trình, hệ phương trình

• Hai phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) và \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Leftrightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)
• \({f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\) gọi là phương trình hệ quả của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\).

Kí hiệu là \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right) \Rightarrow {f_2}\left( x \right) = {g_2}\left( x \right)\)

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Hệ số		Kết luận
\(a \ne 0\)		\(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  - \frac{b}{a}\)
\(a = 0\)	\(b \ne 0\)	\(\left( 1 \right)\) vô nghiệm
	\(b = 0\)	\(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{  }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
\(\Delta  = {b^2} - 4ac\)	Kết luận
\(\Delta  > 0\)	\(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)
\(\Delta  = 0\)	\(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)
\(\Delta  < 0\)	\(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

Định nghĩa và tính chất

\(\begin{array}{l}
\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}
A & khi\,\,A \ge 0\\
 - A & khi\,\,A < 0
\end{array} \right.\\
\left| A \right| \ge 0,\,\,\forall A\\
\left| {A.B} \right| = \left| A \right|.\left| B \right|\\
{\left| A \right|^2} = {A^2}\\
\left| {A + B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0\\
\left| {A + B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| A \right| + \left| B \right| \Leftrightarrow A.B \le 0\\
\left| {A - B} \right| = \left| {\left| A \right| - \left| B \right|} \right| \Leftrightarrow A.B \ge 0
\end{array}\)

– Đặt ẩn phụ

C. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Xét định thức		Kết quả
\(D \ne 0\)		Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
D=0	\(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\)	Hệ vô nghiệm
	\(D_x=D_y\)	Hệ có vô số nghiệm

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ 1: Giải các phương trình

a) \(\sqrt {2x - 3}  = x - 3\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a) \sqrt {2x - 3}  = x - 3\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3 \ge 0\\
2x - 3 = {\left( {x - 3} \right)^2}
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 8x + 12 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x = 6 \vee x = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x = 6
\end{array}\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 6

\(\begin{array}{l}
b)\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2 - x \ge 0\\
{x^2} + 2x + 4 = 2 - x
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
{x^2} + 3x + 2 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \le 2\\
x =  - 1 \vee x =  - 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x =  - 2
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = - 1 và x = -2

Ví dụ 2: Giải các phương trình

a) \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\)

b) \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện \(x \ne 2,x \ne  - 3\) 

\(\begin{array}{l}
1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{10\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \frac{{50}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {x - 2} \right) + 50\\
 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 10(n)\\
x =  - 3(l)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 10

b) 

\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 4x - 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
 - {x^2} + 4x + 5 = 4x - 17,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 8x + 12 = 0,{x^2} - 4x - 5 \ge 0\\
 - {x^2} + 22 = 0,{x^2} - 4x - 5 < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 2(l)\\
x = 6(n)
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = \sqrt {22} (n)\\
x =  - \sqrt {22} (l)
\end{array} \right.
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 6 và \(x = \sqrt {22} \)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình 

\(a) \left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\)

\(b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
a)\left\{ \begin{array}{l}
2x + y = 11\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
8x + 4y = 44\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13x = 52\\
5x - 4y = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
20 - 4y = 8
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 4\\
y = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ có nghiệm (4;3)

\(\begin{array}{l}
b)\left\{ \begin{array}{l}
3x + y - z = 1\\
2x - y + 2z = 5\\
x - 2y - 3z = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + z + 1\\
2x - \left( { - 3x + z + 1} \right) + 2z = 5\\
x - 2\left( { - 3x + z + 1} \right) - 3z = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + z + 1\\
5x + z = 6\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + z + 1\\
25x + 5z = 30\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y =  - 3x + z + 1\\
32x = 32\\
7x - 5z = 2
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 1\\
z = 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (1;-1;1)

Bài ôn tập chương 3 sẽ giúp các em có cái nhìn khái quát về nội dung phần Phương trình - hệ phương trình đã được học. Đây là những kiến thức mang tính chất hỗ trợ trong suốt chương trình Toán THPT các khối lớp. Vì vậy yêu cầu đặt ra các em cần ghi nhớ được các định nghĩa, các cách giải phương trình và hệ phương trình để vận dụng sau này.

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Ôn tập chương III để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Điều kiện của phương trình \(x + 2 - \frac{1}{{\sqrt {x + 2} }} = \frac{{\sqrt {4 - 3x} }}{{x + 1}}\) là:

  • A. \(x >  - 2\) và \(x \ne  - 1\)
  • B. \(x >  - 2\) và \(x < \frac{4}{3}\) 
  • C. \(x >  - 2,x \ne  - 1\) và \(x \le \frac{4}{3}\)
  • D. \(x \ne  - 2\) và \(x \ne  - 1\)

• Câu 2:

  Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{\left( {{m^2} + 2} \right)x + 2m}}{x} = 2\) trong trường hợp \(m \ne 0\) là:

  • A. \(\left\{ { - \frac{2}{m}} \right\}\)
  • B. \(\emptyset \)
  • C. R
  • D. \(R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

• Câu 3:

  Nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
  3x - 5y = 2\\
  4x + 2y = 7
  \end{array} \right.\)

  • A. \(\left( { - \frac{{39}}{{26}};\frac{3}{{13}}} \right)\)
  • B. \(\left( { - \frac{{17}}{{13}}; - \frac{5}{{13}}} \right)\)
  • C. \(\left( {\frac{{39}}{{26}};\frac{1}{2}} \right)\)
  • D. \(\left( { - \frac{1}{3};\frac{{17}}{6}} \right)\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 6 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 7 trang 70 SGK Đại số 10

Bài tập 8 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 9 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 10 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 11 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 12 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 13 trang 71 SGK Đại số 10

Bài tập 3.39 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.40 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.41 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.42 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.43 trang 76 SBT Toán 10

Bài tập 3.44 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.45 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.46 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.47 trang 77 SBT Hình 10

Bài tập 3.48 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.49 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.50 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.51 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.52 trang 77 SBT Toán 10

Bài tập 3.53 trang 78 SBT Toán 10

Bài tập 50 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 51 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 52 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 53 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 54 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 55 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 56 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 57 trang 101 SGK Toán 10 NC

Bài tập 58 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 59 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 60 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 61 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 62 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 63 trang 102 SGK Toán 10 NC

Bài tập 64 trang 102 SGK Toán 10 NC

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.