Toán 10 Bài 2: Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Bài học Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai sẽ giúp các em ôn tập lại về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi-et đã được học ở cấp hai. Sau đó các em sẽ được tìm hiểu cách biến đổi một số dạng phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai như: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, Phương trình chứa nghiệm ở dấu căn,....

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0\) được tóm tắt trong bảng sau

\(ax + b = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Hệ số

Kết luận

\(a \ne 0\)

\(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x =  - \frac{b}{a}\)

\(a = 0\)

\(b \ne 0\)

\(\left( 1 \right)\) vô nghiệm

\(b = 0\)

\(\left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\)

Khi \(a \ne 0\) phương trình \(ax + b = 0\) được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

1.2. Phương trình bậc hai

Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau

\(a{x^2} + bx + c = 0{\rm{  }}\left( {a \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

\(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Kết luận

\(\Delta  > 0\)

\(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,\,\,2}} = \frac{{ - \,b \pm \sqrt \Delta  }}{{2a}}\)

\(\Delta  = 0\)

\(\left( 2 \right)\) có nghiệm kép \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

\(\Delta  < 0\)

\(\left( 2 \right)\) vô nghiệm

1.3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thì

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}.\)

Ngược lại, nếu hai số \(u\) và \(v\) có tổng \(u + v = S\) và tích \(uv = P\) thì \(u\) và \(v\) là các nghiệm của phương trình

\({x^2} - Sx + P = 0.\)

Bài tập minh họa

DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải

  • Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách:

          – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ.

          – Bình phương hai vế.

          – Đặt ẩn phụ.             

  • Phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right|\) ta có thể giải bằng cách biến đổi tương đương như sau

\(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right.\)  hoặc \(\left| {f(x)} \right| = \left| {g(x)} \right| \Leftrightarrow {f^2}(x) = {g^2}(x)\)

  • Đối với phương trình dạng \(\left| {f(x)} \right| = g(x)\)(*) ta có thể biến đổi tương đương như sau

\(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\{f^2}(x) = {g^2}(x)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g(x) \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) =  - g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Hoặc \(\left| {f(x)} \right| = g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(x) = g(x)}\\{f(x) \ge 0}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - f(x) = g(x)}\\{f(x) < 0}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

 

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\left| {2x + 1} \right| = \left| {{x^2} - 3x - 4} \right|\).                                                  

b) \(\left| {3x - 2} \right| = 3 - 2x\)

c) \(\left| {{x^2} - 4x - 5} \right| = 4x - 17\)                                                                                    

d) \(\left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| = 0\)

Lời giải:

a) Phương trình \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 1 = {x^2} - 3x - 4}\\{2x + 1 =  - \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 5x - 5 = 0}\\{{x^2} - x - 3 = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}}\\{x = \frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{{5 \pm \sqrt {45} }}{2}\) và \(\frac{{1 \pm \sqrt {13} }}{2}\).

b) Cách 1: Với \(3 - 2x < 0 \Leftrightarrow x > \frac{3}{2}\)  ta có \(VT \ge 0,\,\,VP < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm

Với \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{3}{2}\) khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình \( \Leftrightarrow {\left| {3x - 2} \right|^2} = {\left( {3 - 2x} \right)^2} \Leftrightarrow 9{x^2} - 12x + 4 = 4{x^2} - 12x + 9\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} = 5 \Leftrightarrow x =  \pm 1\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  \pm 1\) .

Cách 2: Với \(3x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{2}{3}\) : Phương trình tương đương với

\(3{\rm{x}} - 2 = 3 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow 5{\rm{x}} = 5 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Với  \(3x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{2}{3}\): Phương trình tương đương với

\( - \left( {3{\rm{x}} - 2} \right) = 3 - 2{\rm{x}} \Leftrightarrow {\rm{x}} =  - 1\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  \pm 1\) .

c) Với \(4x - 17 < 0 \Leftrightarrow x < \frac{{17}}{4}\)  ta có \(VT \ge 0,\,\,VP < 0\) suy ra phương trình vô nghiệm

Với \(4x - 17 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{{17}}{4}\) khi đó hai vế của phương trình không âm suy ra

Phương trình \( \Leftrightarrow {\left| {{x^2} - 4x - 5} \right|^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 4x - 5} \right)^2} = {\left( {4x - 17} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 8x + 12} \right)\left( {{x^2} - 22} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 8x + 12 = 0}\\{{x^2} - 22 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.}\\{x =  \pm \sqrt {22} }\end{array}} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện \(x \ge \frac{{17}}{4}\) thấy chỉ có \(x = 6\) và \(x = \sqrt {22} \) thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 6\) và \(x = \sqrt {22} \).

d) Ta có \(\left| {2x - 5} \right| \ge 0,\,\,\left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\) suy ra

\(\left| {2x - 5} \right| + \left| {2{x^2} - 7x + 5} \right| \ge 0\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5 = 0}\\{2{x^2} - 7x + 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{5}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = \frac{5}{2}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}\) .

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = \frac{5}{2}\) .

 

DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường

- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không)

- Đặt ẩn phụ

 

Ví dụ: 

Tìm số nghiệm của các phương trình sau

a) \(\frac{{2x + 1}}{{3x + 2}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)      

b) \(1 + \frac{2}{{x - 2}} = \frac{{10}}{{x + 3}} - \frac{{50}}{{(2 - x)(x + 3)}}\).          

c) \(\frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{4x - 2}}{{{{(2x - 1)}^2}}}\).                                                                              

d) \(\frac{{x + 1}}{{x + 2}} + \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\)                                             

Lời giải:

a) ĐKXĐ: \(x \ne  - \frac{2}{3}\)  và \(x \ne 2\) .

Phương trình tương đương với \(\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {3x + 2} \right) \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + x - 2 = 3{x^2} + 2x + 3x + 2\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow x =  - 4 \pm 2\sqrt 3 \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 4 \pm 2\sqrt 3 \).

b) ĐKXĐ: \(x \ne  - 3\)  và \(x \ne 2\) .

Phương trình tương đương với \(\left( {2 - x} \right)\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right) = 10\left( {2 - x} \right) - 50\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x =  - 3}\end{array}} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x = 10\) .

c) ĐKXĐ: \(x \ne  - 1\)  và \(x \ne \frac{1}{2}\) .

Phương trình tương đương với

\(\frac{{x + 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \frac{2}{{2x - 1}} \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 2{\left( {x + 1} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x = 5\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\) .

d) ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\) và \(x \ne  - 1\)

Phương trình tương đương với

\({\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = \left( {2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 2{x^2} - 4x + x - 2 + {x^3} + 2{x^2} - x - 2 = 2{x^3} - 8x + {x^2} - 4\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x =  - 4\) và \(x = 0\)

 

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn.

  • \(\sqrt {f(x)}  = \sqrt {g(x)}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = g(x)\\f(x) \ge 0\,\,(hoac\,\,g(x) \ge 0)\end{array} \right.\)
  • \(\sqrt {f(x)}  = g(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) = {\left[ {g(x)} \right]^2}\\g(x) \ge 0\end{array} \right.\)

 

Ví dụ:

Giải các phương trình sau:

a) \(\sqrt {2x - 3}  = x - 2.\)   (1)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x} \)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(x \ge \frac{3}{2}.\)

Bình phương hai vế của phương trình \(\left( 1 \right)\) ta đưa tới phương trình hệ quả:

\(\begin{array}{c}\left( 1 \right) \Rightarrow 2x - 3 = {x^2} - 4x + 4\\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 7 = 0.\end{array}\)

Phương trình cuối có hai nghiệm là \(x = 3 + \sqrt 2 \) và \(x = 3 - \sqrt 2 .\) Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình \(\left( 1 \right),\) nhưng khi thay vào phương trình \(\left( 1 \right)\) thì giá trị \(x = 3 - \sqrt 2 \) bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị \(x = 3 + \sqrt 2 \) là nghiệm (hai vế cùng bằng \(\sqrt 2  + 1\)).

Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) là \(x = 3 + \sqrt 2 .\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x + 4 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 2\)

Với điều kiện đó phương trình tương đương với:

\({x^3} + 2x + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là \(x =  - 1\) và \(x =  - 2.\)

Bài học Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai sẽ giúp các em ôn tập lại về phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, định lý Vi-et đã được học ở cấp hai. Sau đó các em sẽ được tìm hiểu cách biến đổi một số dạng phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai như: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đốiPhương trình chứa nghiệm ở dấu căn,....

3.1 Trắc nghiệm phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 6- Câu 16: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 6 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 7 trang 62 SGK Đại số 10

Bài tập 8 trang 62 SGK Đại số 10

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 3 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn