Toán 10 Bài 3: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Lý thuyết10 Trắc nghiệm45 BT SGK 181 FAQ

Sau khi đã làm quen với cách giải phương trình bậc nhất và bậc hai, thì bài này sẽ giới thiệu cho chúng ta về cách giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

1.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1.3. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 3 chương 3 đại số 10

3.1. Trắc nghiệm về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 3 đại số 10

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax +by = c, trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0.

Ví dụ: Phương trình 3x - 2y = 6

1.2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

a) Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\
{a_2}x + {b_2}y = {c_2}
\end{array} \right.\,\,(a_1^2 + b_1^2 \ne 0,\,\,a_2^2 + b_2^2 \ne 0)\)

b) Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Tính các định thức: \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{c_1}}&{{b_1}}\\{{c_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\), \({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{c_1}}\\{{a_2}}&{{c_2}}\end{array}} \right|\).

Xét định thức		Kết quả
\(D \ne 0\)		Hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)
D=0	\(D_x \ne 0\) hoặc \(D_y \ne 0\)	Hệ vô nghiệm
	\(D_x=D_y\)	Hệ có vô số nghiệm

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số.

1.3. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập minh họa

DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp cộng đại số, phương pháp thế, dùng định thức.

Ví dụ 1:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 4y = 3\\7x - 9y = 8\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 11\\5x - 4y = 8\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 4}\\7&{ - 9}\end{array}} \right| = - 17\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&{ - 4}\\8&{ - 9}\end{array}} \right| = 5,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&3\\7&8\end{array}} \right| = 19\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( { - \frac{5}{{17}}; - \frac{{19}}{{17}}} \right)\)

b) Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\5&{ - 4}\end{array}} \right| = - 13\), \({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{11}&1\\8&{ - 4}\end{array}} \right| = - 52,\,\,{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{11}\\5&8\end{array}} \right| = - 39\)

Suy ra hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {4;3} \right)\)

Ví dụ 2:

Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}(x + 3)y - 5) = xy\\(x - 2)(y + 5) = xy\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {x - y} \right| = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3(x + y)}}{{x - y}} = - 7\\\frac{{5x - y}}{{y - x}} = \frac{5}{3}\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

a) Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}xy - 5x + 3y - 15 = xy\\xy + 5x - 2y - 10 = xy\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5x + 3y = 15}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 25}\\{5x - 2y = 10}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 12}\\{y = 25}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {12;25} \right)\)

b) Hệ phương trình tương đương với\(\left\{ \begin{array}{l}x - y = \pm \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (1) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right.\) (2)

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 - \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 2 \\2x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 - \sqrt 2 }\\{y = - 1 + 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\) và \(\left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\)

c) ĐKXĐ: \(x \ne y\)

Hệ phương trình tương đương với \(\left\{ \begin{array}{l}3(x + y) = - 7\left( {x - y} \right)\\3\left( {5x - y} \right) = 5\left( {y - x} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10x - 4y = 0}\\{20x - 8y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Phương pháp giải:

Sử dụng định thức: Tính \(D,\,{D_x},\,{D_y}\)

\( \bullet \) Nếu \(D \ne 0\) thì hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

\( \bullet \) Nếu \(D = 0\) thì ta xét \({D_x},\,{D_y}\)

Với \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{D_x} \ne 0}\\{{D_y} \ne 0}\end{array}} \right.\) khi đó phương trình vô nghiệm

Với \({D_x} = {D_y} = 0\) thì hệ phương trình có vô số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trình là tập nghiệm của một trong hai phương trình có trong hệ.

Ví dụ:

Giải và biện luận hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right.\)

Hướng dẫn:

Ta có \(D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\4&{ - m}\end{array}} \right| = 4 - {m^2} = \left( {2 - m} \right)\left( {2 + m} \right)\)

\({D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 6}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 6 = \left( {2 - m} \right)\left( {2m + 3} \right)\)
\({D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\4&{m + 6}\end{array}} \right| = {m^2} - 2m = m\left( {m - 2} \right)\)

Với \({\rm{D}} \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ne 2}\\{m \ne - 2}\end{array}} \right.\): Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)
Với \({\rm{D = }}0 \Leftrightarrow m = \pm 2\):

+ Khi \(m = 2\) ta có \({\rm{D}} = {D_x} = {D_y} = 0\) nên hệ phương trình có nghiệm là nghiệm của phương trình \(2x - y = 4 \Leftrightarrow y = 2x - 4\). Do đó hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).

+ Khi \(m = - 2\) ta có \(D = 0,\,{D_x} \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm

Kết luận

\(m \ne 2\) và \(m \ne - 2\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất\(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2m + 3}}{{2 + m}}; - \frac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

\(m = 2\)hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;y} \right) = \left( {t;2t - 4} \right),\,\,t \in R\).

\(m = - 2\) hệ phương trình vô nghiệm

3. Luyện tập Bài 3 chương 3 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 giới thiệu đến các em cách giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

3.1. Trắc nghiệm về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Chương 3 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x + y}} + \frac{1}{{x - y}} = \frac{5}{8}\\\frac{1}{{x - y}} - \frac{1}{{x + y}} = \frac{3}{8}\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
- A. 1 nghiệm
- B. 2 nghiệm
- C. 3 nghiệm
- D. Vô nghiệm
Câu 2:
Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2\left| {x - 6} \right| + 3\left| {y + 1} \right| = 5\\5\left| {x - 6} \right| - 4\left| {y + 1} \right| = 1\end{array} \right.\) có bao nhiêu nghiệm?
- A. 1 nghiệm
- B. 2 nghiệm
- C. 3 nghiệm
- D. 4 nghiệm
Câu 3:
Tìm m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}(m + 1)x + 8y = 4m\\mx + (m + 3)y = 3m - 1\end{array} \right.\) có nghiệm duy nhất?
- A. \(m \ne 1\)và \(m \ne 3\).
- B. \(m \ne 3\)
- C. \(m \ne 1\)
- D. \(m \ne 2\)và \(m \ne 1\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Chương 3 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 5 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 6 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 7 trang 68 SGK Đại số 10

Bài tập 3.26 trang 73 SBT Toán 10

Bài tập 3.27 trang 73 SBT Toán 10

Bài tập 3.28 trang 74 SBT Toán 10

Bài tập 3.29 trang 74 SBT Toán 10

Bài tập 3.30 trang 74 SBT Toán 10