Bài tập 62 trang 102 SGK Toán 10 NC

a) Theo định lý Vi-ét đảo, x và y là nghiệm của hệ phương trình:

X² – 4X + m = 0  (1)

Ta có:  Δ’ = 4 – m

Do đó:

+ Nếu m > 4 thì Δ’ < 0 thì phương trình (1) vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm

+ Nếu m = 4 thì Δ’ = 0 thì phương trình (1) có một nghiệm kép X = 2 nên hệ đã cho có một nghiệm duy nhất (x,y) = (2,2)

+ Nếu m < 4 thì Δ’ > 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \(X = 2 \pm \sqrt {4 - m} \) nên hệ đã cho có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 - \sqrt {4 - m} }\\
{y = 2 + \sqrt {4 - m} }
\end{array}} \right.;\\
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + \sqrt {4 - m} }\\
{y = 2 - \sqrt {4 - m} }
\end{array}} \right.
\end{array}\)

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x - 2y = 1}\\
{{x^2} + {y^2} = m}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2y = 3x - 1}\\
{4{x^2} + 4{y^2} = 4m}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2y = 3x - 1}\\
{4{x^2} + {{\left( {3x - 1} \right)}^2} = 4m}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Xét riêng phương trình

4x² + (3x – 1)² = 4m

⇔ 13x² – 6x – 4m + 1= 0 (2)

Phương trình (2) có biệt thức thu gọn Δ’ = 4(13m – 1).

Do đó:

+ Nếu \(m < \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' < 0\), phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu \(m = \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' = 0\), phương trình (2) có một nghiệm  nên hệ có nghiệm là

+ Nếu \(m > \frac{1}{{13}} \Rightarrow \Delta ' > 0\) thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = \frac{{3 \pm 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}}\) nên hệ có hai nghiệm:

\(\begin{array}{l}
\left( {{x_1};{y_1}} \right) = \left( {\frac{{3 - 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}};\frac{{ - 2 - 3\sqrt {13m - 1} }}{{13}}} \right)\\
\left( {{x_2};{y_2}} \right) = \left( {\frac{{3 + 2\sqrt {13m - 1} }}{{13}};\frac{{ - 2 + 3\sqrt {13m - 1} }}{{13}}} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 10 HỌC247