Ở lớp 9, chúng ta đã biết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, bài học này cho chúng ta kiến thức về Các hệ thức lượng trong tam giác thường, liệu chúng có khác gì kiến thức lớp dưới, và thế nào là giải tam giác?
1.1. Định lí côsin trong tam giác
1.2. Định lí sin trong tam giác
1.3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác
1.5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
3. Luyện tập bài 3 chương 2 hình học 10
3.1 Trắc nghiệm về Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Định lí côsin trong tam giác
Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
.png)
Ta đã biết rằng: \(BC^2=AB^2+AC^2\)
hay \(\vec {BC}^2=\vec {AB}^2+\vec {AC}^2\)
Chứng minh ngắn gọn theo tích vô hướng của hai vectơ ở bài học trước ta có được điều trên.
Như vậy, ta có phát biểu về định lí côsin trong tam giác:
Trong tam giác ABC, gọi \(Ab=c;AC=b;BC=a\), ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab.cosC\)
Từ đó, ta có hệ quả sau:
\(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)
\(cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
1.2. Định lí sin trong tam giác
Cho hình vẽ:
.png)
Ta dễ dàng nhận thấy rằng:
\(a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC\)
Chứng minh tương tự với tam giác thường, hệ thức trên vẫn đúng!
Ta rút ra được định lí sau:
Với mọi tam giác ABC, ta có:
\(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R\)
1.3. Tổng bình phương hai cạnh và độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM.
.png)
Gọi \(m_a;m_b;m_c\) lần lượt là các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c. Khi đó:
\(m_{a}^{2}=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
\(m_{b}^{2}=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
\(m_{c}^{2}=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}\)
1.4. Diện tích tam giác
Ngoài kiến thức tính diện tích đã học ở cấp dưới là bằng nửa tích cạnh đáy nhân với chiều cao tương ứng, ta còn được biết thêm với các công thức sau:
Với tam giác ABC, kí hiệu \(h_a;h_b;h_c\) lần lượt là các đường cao ứng với các cạnh a, b, c. R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC, \(p=\frac{1}{2}(a+b+c)\) là nửa chu vi của tam giác, ta có các công thức tính diện tích S của tam giác ABC như sau:
\(S=\frac{1}{2}a.h_a=\frac{1}{2}b.h_b=\frac{1}{2}c.h_c\)
\(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}ac.sinB=\frac{1}{2}bc.sinA\)
\(S=\frac{abc}{4R}\)
\(S=pr\)
\(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)
1.5. Giải tam giác và ứng dụng thực tế
Giải tam giác là tính độ dài các cạnh và số đo các góc của tam giác dựa trên điều kiện cho trước.
Ví dụ: Cho hình vẽ sau:
.png)
Hãy giải tam giác ABC.
Ta có:
\(a^2=b^2+c^2-2bc.cosA\)
\(\Leftrightarrow 6^2=5^2+3,61^2-2.5.3,61.cosA\)
\(\Leftrightarrow 36=25+13,03-36,1.cosA\)
\(\Rightarrow cosA=0,056\) \(\Rightarrow \widehat{A}\approx 86,77^o\)
Tương tự:
\(b^2=a^2+c^2-2ac.cosB\)
\(\Leftrightarrow 3,61^2=6^2+5^2-2.6.5.cosB\)
\(\Rightarrow cosB=0,779\) \(\Rightarrow \widehat{B}\approx 36,92^o\)
\(\Rightarrow \widehat{C}=180^o-\widehat{A}-\widehat{B}\approx 56,3^o\)
Bài tập minh họa
Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=60^o, \widehat{B}=80^o,a=6\). Tính hai cạnh a và c.
Hướng dẫn:
.png)
Dễ dàng tìm được \(\widehat{C}=180^o-60^o-80^o=40^o\)
Ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R:
\(\frac{a}{sinA}=2R=\frac{6}{sin60^o}=4\sqrt{3}\)
Vậy: \(\frac{b}{sinB}=4\sqrt{3}\Rightarrow b=sinB.4\sqrt{3}=6,823\)
\(\frac{c}{sinC}=4\sqrt{3}\Rightarrow c=sinC.4\sqrt{3}=4,45\)
Bài 2: Tam giác ABC có \(a=10,b=11,c=14\). Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính độ dài AM.
Hướng dẫn:
.png)
Ta có: \(AM^2=\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}=\frac{11^2+14^2}{2}-\frac{10^2}{4}=11,55\)
Bài tập nâng cao
Bài 1: Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c lần lượt là 5, 7 ,10. Cạnh của hình vuông có diện tích bằng diện tích tam giác ABC là bao nhiêu?
Hướng dẫn:
.png)
Áp dụng công thức Hê rông tính diện tích, ta có:
\(p=\frac{a+b+c}{2}=11\)
\(S=\sqrt{11(11-5)(11-10)(11-7)}=16,24(dvdt)\)
Vậy cạnh của hình vuông có cùng diện tích trên là:
\(a=\sqrt{S}=4,03\)
Bài 2: Cho hình vẽ sau, biết \(AD=5, BD=15\) và các góc cho trước. Tính độ dài BC.
.png)
Hướng dẫn:
Xét tam giác ADB vuông tại D, ta có: \(AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=5\sqrt{10}\)
Ta có: \(tanABD=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{3}\Rightarrow \widehat{ABD}=18,43^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ABC}=90^o-\widehat{ABD}=71,57^o\)
\(\Rightarrow \widehat{ACB}=180^o-\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=63,43^o\)
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
\(R=\frac{AB}{2sinACB}=8,84\)
Mặc khác, \(R=\frac{BC}{2sinBAC}=8,84\Rightarrow BC=2R.sinBAC=12,5\)
3. Luyện tập Bài 3 chương 2 hình học 10
Ở lớp 9, chúng ta đã biết về các hệ thức lượng trong tam giác vuông, bài học này cho chúng ta kiến thức về Các hệ thức lượng trong tam giác thường, liệu chúng có khác gì kiến thức lớp dưới, và thế nào là giải tam giác?
3.1 Trắc nghiệm về Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(20\)
- B. \(24\)
- C. \(36\)
- D. \(48\)
-
Câu 2:
Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c lần lượt là 10, 15, 18. Độ dài đường trung tuyến \(b_m\) bằng:
- A. \(\approx 11,39\)
- B. \(\approx 12,48\)
- C. \(\approx 13,23\)
- D. \(\approx 15,61\)
-
- A. \(9+9\sqrt{3}\)
- B. \(18+9\sqrt{3}\)
- C. \(18+18\sqrt{3}\)
- D. \(27+18\sqrt{3}\)
.png)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 2 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 3 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 4 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 5 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 6 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 7 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 8 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 9 trang 59 SGK Hình học 10
Bài tập 10 trang 60 SGK Hình học 10
Bài tập 11 trang 60 SGK Hình học 10
Bài tập 2.29 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.30 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.31 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.32 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.33 trang 101 SBT Hình học 10
Bài tập 2.34 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.35 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.36 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.37 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.38 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.39 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.40 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.41 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.42 trang 102 SBT Hình học 10
Bài tập 2.43 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 2.44 trang 103 SBT Hình học 10
Bài tập 15 trang 64 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 16 trang 64 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 17 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 18 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 19 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 20 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 21 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 22 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 23 trang 65 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 24 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 25 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 26 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 27 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 28 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 29 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 30 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 31 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 32 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 33 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 34 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 35 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 36 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 37 trang 66 SGK Hình học 10 NC
Bài tập 38 trang 66 SGK Hình học 10 NC
4. Hỏi đáp về bài 3 chương 2 hình học 10
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 10 HỌC247
