YOMEDIA
NONE
Trang chủ Toán 12

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

25 BT SGK

585 FAQ

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A′ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O ⊥ mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó \(widehat {A'AO} = {60^0}\)

Trong tam giác vuông A′OA ta có: 

\(\begin{array}{l}
\tan {60^0} = \frac{{A'O}}{{AO}}\\
 \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0}\\
 = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = a
\end{array}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là 

\(\begin{array}{l}
V = B.h = {S_{ABC}}.A'O\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

b) Vì BC ⊥ AO ⇒ BC ⊥ (AOA′) ⇒> BC ⊥ AA′ hay BC ⊥ BB′ .

Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.

c) Gọi H là trung điểm của AB. Ta có AB ⊥ (A′HO) ⇒ A′H ⊥ AB 

Trong tam giác vuông A′OH, ta có

\(\begin{array}{l}
A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2}\\
 = {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{12}}\\
 \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}
\end{array}\)

Diện tích hình bình hành ABB′A′: 

\({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}\frac{{\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Tương tự \({S_{ACC'A'}} = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là: 

\(\begin{array}{l}
{S_{BCC\prime B\prime }} = BB\prime .BC = AA\prime .BC\\
 = \frac{{AO}}{{cos{{60}^0}}}.a = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2{S_{AA\prime B\prime B}} + {S_{BCC\prime B\prime }}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2{a^2}\sqrt {13} }}{3}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Bài tập SGK khác

Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON