ON
YOMEDIA
VIDEO_3D

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600

a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.

c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC. Vì A′ cách đều ba đỉnh A, B, C nên A′ nằm trên trục của ΔABC, do đó A′O ⊥ mp(ABC)
AO là hình chiếu của AA′ trên mp (ABC). Do đó \(widehat {A'AO} = {60^0}\)

Trong tam giác vuông A′OA ta có: 

\(\begin{array}{l}
\tan {60^0} = \frac{{A'O}}{{AO}}\\
 \Rightarrow A'O = AO.\tan {60^0}\\
 = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3  = a
\end{array}\)

Vậy thể tích khối lăng trụ là 

\(\begin{array}{l}
V = B.h = {S_{ABC}}.A'O\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}
\end{array}\)

b) Vì BC ⊥ AO ⇒ BC ⊥ (AOA′) ⇒> BC ⊥ AA′ hay BC ⊥ BB′ .

Vậy BCC′B′ là hình chữ nhật.

c) Gọi H là trung điểm của AB. Ta có AB ⊥ (A′HO) ⇒ A′H ⊥ AB 

Trong tam giác vuông A′OH, ta có

\(\begin{array}{l}
A'{H^2} = A'{O^2} + O{H^2}\\
 = {a^2} + {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^2} = \frac{{13{a^2}}}{{12}}\\
 \Rightarrow A'H = \frac{{a\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}
\end{array}\)

Diện tích hình bình hành ABB′A′: 

\({S_{ABB'A'}} = AB.AH = {a^2}\frac{{\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Tương tự \({S_{ACC'A'}} = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{2\sqrt 3 }}\)

Diện tích hình chữ nhật BCC′B′ là: 

\(\begin{array}{l}
{S_{BCC\prime B\prime }} = BB\prime .BC = AA\prime .BC\\
 = \frac{{AO}}{{cos{{60}^0}}}.a = \frac{{2{a^2}\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

Vậy diện tích xung quanh hình lăng trụ là

\(\begin{array}{l}
{S_{xq}} = 2{S_{AA\prime B\prime B}} + {S_{BCC\prime B\prime }}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{{\sqrt 3 }} + \frac{{2{a^2}\sqrt {13} }}{3}\\
 = \frac{{{a^2}\sqrt {13} }}{3}\left( {\sqrt {13}  + 2} \right)
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
AMBIENT

 

AMBIENT
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_bg] => 
            [banner_picture] => 894_1634779022.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://kids.hoc247.vn/tieuhoc247
            [banner_startdate] => 2021-09-01 00:00:00
            [banner_enddate] => 2021-10-31 23:59:59
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)