Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?
Hướng dẫn giải chi tiết
Gọi H1, H2, H3, H4 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng (BCD), (ACD),(ABD), (ABC)
Khi đó MH1, MH2, MH3, MH4 lần lượt là khoảng cách từ điểm M tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là S và gọi h là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{MBCD}} + {V_{MACD}} + {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}}}\\
\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{1}{3}S.M{H_1} + \frac{1}{3}S.M{H_2} + \frac{1}{3}S.M{H_3} + \frac{1}{3}S.M{H_4}\\
= \frac{1}{3}S.h
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h}
\end{array}\)
Vậy tổng các khoảng cách từ điểm M tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm M nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a, ta tính h.
Gọi H là trực tâm tam giác đều BCD và M là trung điểm của CD.
Ta có:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2}\\
= {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}
\end{array}\\
{ = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{12}} = \frac{{2{a^3}}}{3} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, H là trung điểm AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
bởi Mai Rừng 08/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, AC = a, H là trung điểm AB, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tam giác SAB vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD, SC theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S
bởi Nguyễn Trung Thành 07/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAC là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), đường thẳng SB tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 600, M là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM, AC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, \(AD = 3BC = 3\sqrt{3}a\), \(AB = 2\sqrt{2}a\), tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc tạo bởi đường thẳng SA với mặt phẳng (SCD).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a AD = a,vK là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC
bởi Lê Tấn Thanh 08/02/2017
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a AD = a,K là hình chiếu vuông góc của B lên đường chéo AC, các điểm H M, lần lượt là trung điểm của AK và DC, SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MH.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B'C' có tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = \(a\sqrt{3}\)
bởi Lê Minh Bảo Bảo 08/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình lăng trụ đứng ABC. A' B'C' có tam giác ABC vuông tại A, AB = a, AC = \(a\sqrt{3}\) . Góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABC) bằng 300. Gọi N là trung điểm của cạnh BB'. Tính thể tích khối lăng trụ ABC A'B'C' và tính cô sin của góc giữa hai đường thẳng AB và CN .
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD
bởi Thùy Nguyễn 08/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, \(AB=a, AD=2\sqrt{2}a\) . Hình
chiếu vuông góc của điểm S trên mp(ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD. Đường thẳng SA tạo với mp(ABCD) một góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, \(\widehat{ BAC}= 60^0\)
bởi can tu 07/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2a, \(\widehat{ BAC}= 60^0\), cạnh bên SA vuông góc với đáy và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CM theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HC =2HB,
bởi hi hi 07/02/2017
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh BC sao cho HC =2HB, góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 450. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính theο a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAC)
bởi Lê Nguyễn Hạ Anh 07/02/2017
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, BC = a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của cạnh AB, biết rằng SH = 2a. Tính theο a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (MAC), trong đó M là trung điểm của cạnh SB.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn thẳng AC
bởi hi hi 07/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = 2 AC = 4. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn thẳng AC. Cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cà các cạnh đều bằng a .Tính thể tích của hình lăng trụ và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC
bởi Lê Nhật Minh 07/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi I là trung điểm AB, H là giao điểm của BD với IC. Các mặt phẳng (SBD) và (SIC) cùng vuông góc với đáy. Góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và IC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Help me!
Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Góc giữa SD và mặt đáy hình chóp bằng 450. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC, SD.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích S.ABCD và tính AM theo a để thể tích khối chóp S.BCNM bằng \(\frac{10a^3\sqrt{3}}{27}\)
bởi thu hảo 08/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), cạnh bên SB tạo với đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy điểm M, mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích S.ABCD và tính AM theo a để thể tích khối chóp S.BCNM bằng \(\frac{10a^3\sqrt{3}}{27}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB =a; AD = 2a, tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của SD. Tính thể tích khối chóp S.ACD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B'C'D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BD theo a
bởi Nguyễn Trà Long 08/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 'B'C'D ' có đáy là hình thoi cạnh a, \(\widehat{BAD}=120^0\) và \(AC' =a\sqrt{5}\). Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A 'B'C'D ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BD theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
bởi Anh Nguyễn 08/02/2017
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(a\sqrt{3}\) . Tính thể tích khối chóp S.ABC và diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC theo a.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) biết góc giữa đường thẳng BC'
bởi Trần Bảo Việt 07/02/2017
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy (A'B'C') là trung điểm H của cạnh A'B'. Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và khoảng cách từ C' đến mặt phẳng (A'BC) biết góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (A'B'C') bằng 450
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc \(\widehat{BAD}=60^0\) ; Các mặt phẳng (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); Góc tạo bởi SC với mp(ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng NC và SD với N là điểm năm trên cạnh AD sao cho DN = 2AN.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD)
bởi Lê Nhật Minh 06/02/2017
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp(ABCD). Biết AC = 2a, BD = 4a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau
bởi Lê Tường Vy 07/02/2017
Khó quá, em bỏ cuộc rồi, mọi người giúp vs! Em cảm ơn nhiều ạ.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD; các đường thẳng SA, AC và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = \(a\sqrt{2}\) và AD = 2BC. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.
Theo dõi (0) 2 Trả lời -
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S
bởi Nguyễn Anh Hưng 08/02/2017
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, BC = 2a, Góc \(\widehat{ACB} = 60^0\). Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mp(ABC), tam giác SAB cân tại S, tam giác SBC vuông tại S. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABN)
bởi trang lan 07/02/2017
Cứu với mọi người!
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại B, \(\widehat{ABC}\) = 1200 , AB = a, SB vuông góc mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của SM. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABN).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN
bởi Nguyễn Thanh Thảo 08/02/2017
Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 4a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa cạnh SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 600, M là trung điểm của BC, N là điểm thuộc cạnh AD sao cho DN = a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN .
Theo dõi (0) 1 Trả lời