YOMEDIA
NONE
Trang chủ Toán 12

Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Lý thuyết10 Trắc nghiệm

25 BT SGK

585 FAQ

Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Gọi H1, H2, H3, H4 lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các mặt phẳng (BCD), (ACD),(ABD), (ABC)

Khi đó MH1, MH2, MH3, MH4 lần lượt là khoảng cách từ điểm M tới các mặt phẳng đó. Các mặt bên của tứ diện đều có cùng diện tích, ta kí hiệu các diện tích đó là S và gọi h là chiều cao của tứ diện đều. Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{V_{MBCD}} + {V_{MACD}} + {V_{MABD}} + {V_{MABC}} = {V_{ABCD}}}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \frac{1}{3}S.M{H_1} + \frac{1}{3}S.M{H_2} + \frac{1}{3}S.M{H_3} + \frac{1}{3}S.M{H_4}\\
 = \frac{1}{3}S.h
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow M{H_1} + M{H_2} + M{H_3} + M{H_4} = h}
\end{array}\)

Vậy tổng các khoảng cách từ điểm M tới bốn mặt của tứ diện đều không phụ thuộc vào vị trí của điểm M nằm trong tứ diện đó.
Nếu tứ diện đều có cạnh bằng a, ta tính h.

Gọi H là trực tâm tam giác đều BCD và M là trung điểm của CD.

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{h^2} = A{H^2} = A{M^2} - H{M^2}\\
 = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2}
\end{array}\\
{ = \frac{{3{a^2}}}{4} - \frac{{{a^2}}}{{12}} = \frac{{2{a^3}}}{3} \Rightarrow h = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Bài tập SGK khác

Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC

Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF