Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 12 Chương 1 Bài 3 Khái niệm về thể tích khối đa diện sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 12 Cơ bản và Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 25 SGK Hình học 12
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
-
Bài tập 2 trang 25 SGK Hình học 12
Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.
-
Bài tập 3 trang 25 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.
-
Bài tập 4 trang 25 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
\(\frac{{{V_{S.A'B'C'D'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SA'}}{{SA}}.\frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}}\)
-
Bài tập 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.
-
Bài tập 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.
-
Bài tập 1.10 trang 18 SBT Hình học 12
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
-
Bài tập 1.11 trang 18 SBT Hình học 12
Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với đáy một góc 600. Hãy tính thể tích của khối chóp đó.
-
Bài tập 1.12 trang 18 BT Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
-
Bài tập 1.13 trang 18 SBT Hình học 12
Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì trong một tứ diện đều đến các mặt của nó là một số không đổi.
-
Bài tập 1.14 trang 18 SBT Hình học 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = 2a, AA′ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.
a) Tính thể tích khối chóp M.AB′C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB′C).
-
Bài tập 1.15 trang 19 SBT Hình học 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A′B′ và B′C′. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D′.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′.
-
Bài tập 1.16 trang 19 SBT Hình học 12
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có AB = a, BC = b, AA′ = c. Gọi E và F lần lượt là những điểm thuộc cạnh BB′ và DD′ sao cho \(BE = \frac{1}{2}EB',DF = \frac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ thành hai khối đa diện (H) và (H′). Gọi (H′) là khối đa diện chứa đỉnh A′. Hãy tính thể tích của (H) và tỉ số thể tích của (H) và (H′).
-
Bài tập 1.17 trang 19 SBT Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′).
-
Bài tập 15 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho tam giác ABC cố định và một điểm S thay đổi. Thể tích của khối chóp S.ABC có thay đổi hay không nếu:
a) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) ;
b) Đỉnh S di chuyển trên một mặt phẳng song song với chỉ một cạnh đáy ;
c) Đỉnh S di chuyển trên một đường thẳng song song với một cạnh đáy ?
-
Bài tập 16 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Hãy chia một khối tứ diện thành hai khối tứ diện sao cho tỉ số thể tích của hai khối tứ diện này bằng một số k > 0 cho trước.
-
Bài tập 17 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Tính thể tích của khối hộp ABCD.A′B′C′D′, biết rằng AA′B′D′ là khối tứ diện đều cạnh a.
-
Bài tập 18 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
-
Bài tập 19 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC = b, \(\widehat {ACB} = {60^0}\). Đường thẳng BC′ tạo với mp (AA′C′C) một góc 300
a) Tính độ dài đoạn thẳng AC.
b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
-
Bài tập 20 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A′ cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA′ tạo với mặt phẳng đáy một góc 600
a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó.
b) Chứng minh rằng mặt bên BCCB′ là một hình chữ nhật.
c) Tính tổng diện tích các mặt bên của hình lăng trụ ABC.A′B′C (tổng đó gọi là diện tích xung quanh của hình (hoặc khối) lăng trụ đã cho).
-
Bài tập 21 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho điểm M nằm trong hình tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M tới bốn mặt của hình tứ diện là một số không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. Tổng đó bằng bao nhiêu nếu cạnh của tứ diện đều bằng a ?
-
Bài tập 22 trang 28 SGK Hình học 12 NC
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm của AA′. Mặt phẳng đi qua M, B', C chia khối lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
-
Bài tập 23 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Cho khối chóp tam giác S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A′, B′, C′ khác với S. Gọi V và V′ lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABC và S.A′B′C′. Chứng minh rằng: \(\frac{V}{{V'}} = \frac{{SA}}{{SA\prime }}.\frac{{SB}}{{SB\prime }}.\frac{{SC}}{{SC\prime }}\)
-
Bài tập 24 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) đi qua AM, song song với BD chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích cùa hai phần đó.
-
Bài tập 25 trang 29 SGK Hình học 12 NC
Chứng minh rằng nếu có phép vị tự tỉ số kk biến tứ diện ABCD thành tứ diện A′B′C′D′ thì \(\frac{{{V_{A\prime B\prime C\prime D\prime }}}}{{{V_{ABCD}}}} = |k{|^3}\)