YOMEDIA
  • Câu hỏi:

    Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm ,MN thuộc các cạnh AB và AD (M, N không trùng với A, B, D). sao cho \(\frac{{AB}}{{AM}} + 2.\frac{{AD}}{{AN}} = 4.\) Kí hiệu \(V, V_1\) lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của \(\frac{{{V_1}}}{V}\) 

    • A. \(\frac{2}{3}\)
    • B. \(\frac{3}{4}\)
    • C. \(\frac{1}{6}\)
    • D. \(\frac{14}{17}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Do các khối chóp .S ABCD và .S MBCDN có cùng chiều cao kẻ từ S nên \(\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{{{S_{MBCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}}\) 

    Ta có: \(\frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} = 4.\) Áp dụng BĐT Cô si, ta có:

    \(\frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} \ge 2\sqrt {\frac{{AB}}{{AM}}.2\frac{{AD}}{{AN}}}  = 2\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{AB.AD}}{{AM.AN}}} \) (với \(\frac{{AB}}{{AM}} > 1,\frac{{AD}}{{AN}} > 1\) )

    \( \Rightarrow 2\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{AB.AD}}{{AM.AN}}}  \le 4 \Leftrightarrow \frac{{AB.AD}}{{AM.AN}} \le 2\)

    \( \Rightarrow \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{AMN}}}} \le 2 \Rightarrow \frac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{AMN}}}} \le 4\) (do \({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}}\))

    \( \Rightarrow \frac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} \ge \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{{{S_{ABCDN}}}}{{{S_{ABCD}}}} \le \frac{3}{4} \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{V} \le \frac{3}{4}\) 

    Tỉ số \(\frac{{{V_1}}}{V}\) đạt GTLN bằng \(\frac{3}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{AB}}{{AM}} + 2\frac{{AD}}{{AN}} = 4\\
    \frac{{AB}}{{AM}} = 2\frac{{AD}}{{AN}}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \frac{{AB}}{{AM}} = 2\\
    \frac{{AD}}{{AN}} = 1
    \end{array} \right.\)  

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA