AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho hàm số \(y = \left| {{{\sin }^3}x - m.sinx + 1} \right|.\) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\) Tính số phần tử của S

    • A. 1
    • B. 2
    • C. 3
    • D. 0

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) hàm số \(y = \sin x\) đồng biến

    Đặt \(t = \sin x,x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;1} \right)\) 

    Khi đó hàm số \(y = \left| {\sin {}^3x - m.sinx + 1} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),\) khi và chỉ khi \(y = f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1)

    Xét hàm số \( y= f\left( t \right) = \left| {{t^3} - mt + 1} \right|\) trên khoảng (0;1) có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} - m\) 

    +) Khi \(m = 0:f'\left( x \right) = 3{x^2} > 0,\forall x \Rightarrow y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) đồng biến trên (0;1)

    Và đths \(y = f\left( x \right) = {x^3} + 1\) cắt Ox tại điểm duy nhất x = - 1 

    \( \Rightarrow y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn

    +) \(m > 0:f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} =  - \sqrt {\frac{m}{3}} ,{x_2} = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

    Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - mx + 1\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right)\) và \(\left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right)\) 

    Nhận xét: \(\left( {0;1} \right) \not\subset \left( {\sqrt {\frac{m}{3}} ; + \infty } \right),\left( {0;1} \right) \not\subset \left( { - \infty ; - \sqrt {\frac{m}{3}} } \right),\forall m > 0\) 

    TH1: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < \sqrt {\frac{m}{3}}  < 1 \Leftrightarrow 0 < m < 3\) 

    Description: 51935315_609795409467419_6920235041721155584_n

    Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 = 0\) có nghiệm (bội lẻ) là \(x = \sqrt {\frac{m}{3}} \) 

    \( \Rightarrow \frac{{m\sqrt m }}{{3\sqrt 3 }} - \frac{{m\sqrt m }}{{\sqrt 3 }} + 1 = 0 \Leftrightarrow  - 2m\sqrt m  + 3\sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow m\sqrt m  = \frac{{3\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow m = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\left( {TM} \right)\)  

    TH2: \( - \sqrt {\frac{m}{3}}  < 0 < 1 \le \sqrt {\frac{m}{3}}  \Leftrightarrow m \ge 3\)

    Description: 52598863_763552667346790_6912074449239932928_n

    Để \(y = g\left( x \right) = \left| {{x^3} - mx + 1} \right|\) đồng biến trên (0;1) thì \({x^3} - mx + 1 \le 0,\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

    \( \Leftrightarrow mx \le {x^3} + 1,\forall x \in \left( {0;1} \right) \Leftrightarrow m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) 

    Xét hàm số \(y = {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow y' = 2x - \frac{1}{{{x^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}} \in \left( {0;1} \right)\) 

    Hàm số liên tục trên (0;1) và \(y\left( {\frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}} \right) = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}};y\left( 1 \right) = 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} y = \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}}\) 

    Để \(m \le {x^2} + \frac{1}{x},\forall x \in \left( {0;1} \right)\) thì \(m \le \frac{3}{{\sqrt[3]{4}}} \Rightarrow \) Không có giá trị của m thỏa mãn.

    Vậy chỉ có giá trị m = 0 thỏa mãn

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>