Toán 11 Ôn tập chương 3 Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Tổng quát nội dung chương III

Sơ đồ tư duy Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân

1.2. Các dạng bài tập chương III

Các dạng bài tập dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta luôn có:

a) \({1^2} + {2^2} + ... + {(n - 1)^2} + {n^2} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\)

b) \(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{n}{{{3^n}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2n + 3}}{{{{4.3}^n}}}\)

Hướng dẫn giải:

a) Bước 1: Với \(n = 1\) ta có:

\(VT = {1^2} = 1,{\rm{ }}VP = \frac{{1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6} = 1 \Rightarrow VT = VP\)

\( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:

\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} = \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6}\) (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh:

\({1^2} + {2^2} + ... + {(k - 1)^2} + {k^2} + {(k + 1)^2} = \frac{{(k + 1)(k + 1)(2k + 3)}}{6}\) (2).

Thật vây:

\(VT(2) = \left[ {{1^2} + {2^2} + ... + {k^2}} \right] + {(k + 1)^2}\)\(\mathop = \limits^{{\rm{do }}(1)} \frac{{k(k + 1)(2k + 1)}}{6} + {(k + 1)^2}\)

\( = (k + 1)\left[ {\frac{{2{k^2} + k}}{6} + k + 1} \right] = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6}\)

\( = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6} = VP(2)\)

\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \)đẳng thức cho đúng với mọi \(n \ge 1\).

b) * Với \(n = 1\) ta có \(VT = 1 = VP \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng với \(n = 1\)

* Giả sử đẳng thức cho đúng với \(n = k \ge 1\), tức là:\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}}\) (1)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh

\(\frac{1}{3} + \frac{2}{{{3^2}}} + ... + \frac{k}{{{3^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}}\) (2).

Thật vậy:\(VT(2) = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 3}}{{{{4.3}^k}}} + \frac{{k + 1}}{{{3^{k + 1}}}} = \frac{3}{4} - \frac{{2k + 5}}{{{{4.3}^{k + 1}}}} = VP(2)\)

\( \Rightarrow (2)\) đúng \( \Rightarrow \) đẳng thức cho đúng.

Ví dụ 2:

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1,{u_2} = 2\\{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} + \sqrt {{u_{n - 1}}} {\rm{ }}\forall n \ge 2\end{array} \right.\). Chứng minh rằng dãy \(({u_n})\) là dãy tăng và bị chặn.

Hướng dẫn giải:

Ta chứng minh dãy \(({u_n})\) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp

* Dễ thấy: \({u_1} < {u_2} < {u_3}\).

* Giả sử \({u_{k - 1}} < {u_k}{\rm{ }}\forall k \ge 2\), ta chứng minh \({u_{k + 1}} < {u_k}\). Thật vậy:

\({u_{k + 1}} = \sqrt {{u_k}} + \sqrt {{u_{k - 1}}} > \sqrt {{u_{k - 1}}} + \sqrt {{u_{k - 2}}} = {u_k}\)

Vậy \(({u_n})\) là dãy tăng.

Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < 4{\rm{ }}\forall n\), hơn nữa \({u_n} > 0\)

Nên dãy \(({u_n})\) là dãy bị chặn.

Ví dụ 3:

Chứng minh rằng :

a) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSC thì \(9ab = 2{a^3} + 27c\)

b) Nếu phương trình \({x^3} - a{x^2} + bx - c = 0\) có ba nghiệm lập thành CSN thì \(c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)

Hướng dẫn:

a) Giả sử phương trình có ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSC

Suy ra: \({x_1} + {x_3} = 2{x_2}\) (1)

Mặt khác: \({x^3} - a{x^2} + bx - c = (x - {x_1})(x - {x_2})(x - {x_3})\)

\( = {x^3} - ({x_1} + {x_2} + {x_3}){x^2} + ({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1})x - {x_1}{x_2}{x_3}\)

Suy ra \({x_1} + {x_2} + {x_3} = a\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra \(3{x_2} = a\) hay \({x_2} = \frac{a}{3}\)

Dẫn tới phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \frac{a}{3}\), tức là:

\({\left( {\frac{a}{3}} \right)^3} - a{\left( {\frac{a}{3}} \right)^2} + b\left( {\frac{a}{3}} \right) - c = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2{a^3}}}{{27}} + \frac{{ba}}{3} - c = 0 \Leftrightarrow 9ab = 2{a^3} + 27c\)

Ta có đpcm.

b) Giả sử ba nghiệm \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành CSN, suy ra \({x_1}{x_3} = x_2^2\)

Theo phân tích bài trên, ta có: \({x_1}{x_2}{x_3} = c \Rightarrow x_2^3 = c \Rightarrow {x_2} = \sqrt[3]{c}\)

Hay phương trình đã cho có nghiệm \({x_2} = \sqrt[3]{c}\), tức là:

\({\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^3} - a{\left( {\sqrt[3]{c}} \right)^2} + b\sqrt[3]{c} - c = 0 \Leftrightarrow b\sqrt[3]{c} = a\sqrt[3]{{{c^2}}} \Leftrightarrow c(c{a^3} - {b^3}) = 0\)

Bài toán được chứng minh.

Ví dụ 4:

a) Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\)

\(\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \cos A;\cos B;\cos C\) lập thành cấp số cộng.

b) Cho tam giác ABC.Chứng minh rằng \(\cot \frac{A}{2};\cot \frac{B}{2};\cot \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng \( \Leftrightarrow \sin A;\sin B;\sin C\) lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: \(\tan \frac{A}{2};\tan \frac{B}{2};\tan \frac{C}{2}\) lập thành cấp số cộng

\( \Leftrightarrow \tan \frac{A}{2} + \tan \frac{C}{2} = 2\tan \frac{B}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sin (\frac{A}{2} + \frac{C}{2})}}{{\cos \frac{A}{2}\cos \frac{C}{2}}} = 2\frac{{\sin \frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{B}{2} = \sin \frac{B}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{A}{2} + \frac{C}{2}} \right) + \cos \left( {\frac{A}{2} - \frac{C}{2}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos B}}{2} = \frac{{1 - \cos B}}{2} + \frac{1}{2}\left[ {\cos A + \cos C} \right]\)

\( \Leftrightarrow \cos B = \frac{{\cos A + \cos C}}{2} \Leftrightarrow \cos A,\cos B,\cos C\) lập thành CSC.

b) Ta có: \(\cot \frac{A}{2} - \cot \frac{B}{2} = \cot \frac{B}{2} - \cot \frac{C}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\cos \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2} - \cos \frac{B}{2}\sin \frac{A}{2}}}{{\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}}} = \frac{{\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2} - \cos \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}{{\sin \frac{C}{2}\sin \frac{B}{2}}}\)

\( \Leftrightarrow \sin \frac{{B - A}}{2}\cos \frac{{B + A}}{2} = \sin \frac{{C - B}}{2}.\cos \frac{{C + B}}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin B - \sin A = \sin C - \sin B \Leftrightarrow \sin A + \sin C = 2\sin B\).

3. Luyện tập Bài 5 chương 3 giải tích 11

Nội dung bài ôn tập chương Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 3 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương III để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Cho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
- A. \(S = \frac{9}{{246}}\)
- B. \(S = \frac{4}{{23}}\)
- C. \(S = 123\)
- D. \(S = \frac{{49}}{{246}}\)
Câu 2:
Dãy số \({u_n} = - 3n + 1\) có phải là cấp số cộng không? Nếu phải hãy xác định số công sai?
- A. \(d = - 2\)
- B. \(d = 3\)
- C. \(d = - 3\)
- D. \(d = 1\)
Câu 3:
Dãy số \({u_n} = \frac{2}{n}\) có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội?
- A. \(q = 3\)
- B. \(q = \frac{1}{2}\)
- C. \(q = 4\)
- D. \(q = \emptyset \)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11