Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11

a) Với a = 1 ta có: \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Với a ≠ 1 ta có:

\(\begin{array}{l}
a{S_n} = a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n}\\
 \Rightarrow {S_n} - a{S_n} = (1 - a){S_n}\\
 = (1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}) - (a + 2{a^2} + 3{a^3} + ... + n{a^n})\\
 = 1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}} - n{a^n} = \frac{{{a^n} - 1}}{{a - 1}} - n{a^n}\\
 = \frac{{{a^n} - 1 - n{a^{n + 1}} + n{a^n}}}{{a - 1}}\\
 = \frac{{(1 + n){a^n} - n{a^{n + 1}} - 1}}{{a - 1}}\\
 \Rightarrow {S_n} = \frac{{n{a^{n + 1}} - (n + 1){a^n} + 1}}{{{{(a - 1)}^2}}}
\end{array}\)

b) Với x = 1 ta có: \({S_n} = 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)

Với x ≠ 1 ta có:

\(\begin{array}{l}
x{S_n} = 1{x^2} + 2{x^3} + 3{x^4} + ... + n{x^n} + 1\\
 \Rightarrow {S_n} - x{S_n} = (1 - x){S_n}\\
 = (1x + 2{x^2} + 3{x^3} + ... + n{x^n}) - (1{x^2} + 2{x^3} + 3{x^4} + ... + n{x^{n + 1}})\\
 = x + {x^2} + {x^3} + ... + {x^n} - n{x^{n + 1}}\\
 = \frac{{x({x^n} - 1)}}{{x - 1}} - n{x^{n + 1}}\\
 = \frac{{{x^{n + 1}} - x - n{x^{n + 2}} + n{x^{n + 1}}}}{{x - 1}}\\
 = \frac{{(n + 1){x^{n + 1}} - n{x^{n + 2}} - x}}{{x - 1}}\\
 \Rightarrow {S_n} = \frac{{n{x^{n + 2}} - (n + 1){x^{n + 1}} + x}}{{{{(x - 1)}^2}}}
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247