Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11

a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(\frac{1}{3},\frac{2}{9},\frac{1}{9},\frac{4}{{81}},\frac{5}{{243}}\)

b) Để chứng minh (v_n) là cấp số nhân ta chỉ ra tỉ số \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}}\) là hằng số

Ta có:

\(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}}:\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}.\frac{n}{{n + 1}}\,\,\left( 1 \right)\)

Mà theo giả thiết ta có: 

\({u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{3n}} \Rightarrow \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}\)

Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}}.\frac{n}{{n + 1}} = \frac{1}{3}\)

Do đó, (v_n) là cấp số nhân có \({v_1} = \frac{1}{3},q = \frac{1}{3}\)

c) Để tính u_n ta viết tích của n−1 tỉ số:

\(\frac{{{v_n}}}{{{v_{n - 1}}}}.\frac{{{v_{n - 1}}}}{{{v_{n - 2}}}}...\frac{{{v_3}}}{{{v_2}}}.\frac{{{v_2}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{{{v_n}}}{{{v_1}}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}}\)

Suy ra \({v_n} = \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{3}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow \frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{{{3^n}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247