YOMEDIA

Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC

Chứng minh rằng:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên n ≥ 2.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

+ Với n = 2 ta có:

\({1.2^2} = \frac{{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)}}{{12}} = 4\)

Vậy (1) đúng với n = 2.

+ Giả sử (1) đúng với n = k, tức là ta có:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}}\)  

+ Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1

\(\begin{array}{l}
{1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)}}{{12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)}}{{12}}\\
 = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left[ {3k\left( {k + 2} \right) + 5\left( {k + 2} \right)} \right]}}{{12}}\\
 = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]}}{{12}}
\end{array}\)

Điều đó chứng tỏ (1) đúng với n = k+1

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n ≥ 2.

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)