ADMICRO
UREKA

Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bài 7 tr 107 sách GK sách GK Toán ĐS & GT lớp 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)

b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Câu a:

Ta có \(u_{n+1}-u_n=\left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right )-\left ( n+\frac{1}{n} \right )= 1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)

\(=\frac{n^2+n+n-n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}> 0 \ \ \forall n\in \mathbb{N}^*\)

\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy tăng.

Ta có \(u_n=n+\frac{1}{n}>0\Rightarrow (u_n)\) bị chặn dưới, nhưng (un) không bị chặn trên \(\Rightarrow (u_n)\) không bị chặn.

Câu b:

\(\begin{array}{l}
{u_1} = {\left( { - 1} \right)^0}\sin 1 = \sin 1 > 0\\
{u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin \frac{1}{2} =  - \sin \frac{1}{2} < 0\\
{u_3} = {\left( { - 1} \right)^2}.\sin \frac{1}{3} =  - \sin \frac{1}{3} > 0
\end{array}\)

⇒ u1 > u2 và u2 < u3

Dãy \((u_n)\) không tăng và không giảm.

Ta có \(\left| {{u_n}} \right| = \left| {{{\left( { - 1} \right)}^{n - 1}}sin\frac{1}{n}} \right| = \left| {sin\frac{1}{n}} \right| \le 1 \Leftrightarrow  - 1 \le {u_n} \le 1,u \in {^*}\)

\(\Rightarrow (u_n)\) bị chặn và không đơn điệu 

Câu c:

Ta có

\(u_{n+1}-u_n =(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)

\(=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} \ (1)\)

Ta chứng minh \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} < 0 \ (2)\)

Thật vậy ta có \((2)\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2\sqrt {n(n + 2)}  < 2n + 2\\
 \Leftrightarrow \sqrt {n(n + 2)}  < n + 1\\
 \Leftrightarrow {n^2} + 2n < {n^2} + 2n + 1\\
 \Leftrightarrow 0 < 1(LD)
\end{array}\)

⇒ (2) đúng.

Từ (1), (2) \(\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0\)

\(\Rightarrow (u_n)\) dãy số giảm.

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{u_n} = \sqrt {n + 1}  - \sqrt n  = \frac{{n + 1 - n}}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }}\\
 = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} > 0,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)

⇒ un là dãy số bị chặn dưới.

Lại có: với \(n \ge 1\) thì \(\sqrt {n + 1}  + \sqrt n  \ge \sqrt 2  + 1\)

\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1}  + \sqrt n }} \le \frac{1}{{\sqrt 2  + 1}}\)

Suy ra un là dãy số bị chặn trên

Vậy un là dãy số giảm và bị chặn

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11 HAY thì click chia sẻ 

Bài tập SGK khác

Bài tập 5 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 8 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 9 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 10 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 11 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 12 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 13 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 14 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 15 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 16 trang 108 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 17 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 18 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 19 trang 109 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3.37 trang 132 SBT Toán 11

Bài tập 3.38 trang 132 SBT Toán 11

Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.40 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.41 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.42 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.43 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.44 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.45 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.46 trang 133 SBT Toán 11

Bài tập 3.47 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.48 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.49 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.50 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.51 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.52 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.53 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.54 trang 134 SBT Toán 11

Bài tập 3.55 trang 135 SBT Toán 11

Bài tập 3.56 trang 135 SBT Toán 11

Bài tập 44 trang 122 SGK Toán 11 NC

Bài tập 45 trang 123 SGK Toán 11 NC

Bài tập 46 trang 123 SGK Toán 11 NC

Bài tập 47 trang 123 SGK Toán 11 NC

Bài tập 48 trang 123 SGK Toán 11 NC

Bài tập 49 trang 124 SGK Toán 11 NC

Bài tập 50 trang 124 SGK Toán 11 NC

Bài tập 51 trang 124 SGK Toán 11 NC

Bài tập 52 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 53 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 54 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 55 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 56 trang 125 SGK Toán 11 NC

Bài tập 57 trang 125 SGK Toán 11 NC

ADMICRO
 

 

YOMEDIA
OFF