AMBIENT

Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Giải bài 7 tr 107 sách GK sách GK Toán ĐS & GT lớp 11

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)

b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 7

Câu a:

Ta có \(u_{n+1}-u_n=\left ( n+1+\frac{1}{n+1} \right )-\left ( n+\frac{1}{n} \right )= 1+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\)

\(=\frac{n^2+n+n-n-1}{n(n+1)}=\frac{n^2+n-1}{n(n+1)}> 0 \ \ \forall n\in \mathbb{N}^*\)

\(\Rightarrow (u_n)\) là dãy tăng.

Ta có \(u_n=n+\frac{1}{n}>0\Rightarrow (u_n)\) bị chặn dưới, nhưng (un) không bị chặn trên \(\Rightarrow (u_n)\) không bị chặn.

Câu b:

Dãy \((u_n)\) không tăng và không giảm.

Ta có \(\left |u_n \right |=\left | sin\frac{1}{n} \right |\leq 1\Leftrightarrow -1\leq u_n\leq 1,u\in \mathbb{N}^*\)

\(\Rightarrow (u_n)\) bị chặn.

Câu c:

Ta có

\(u_{n+1}-u_n =(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})-(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\)

\(=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} \ (1)\)

Ta chứng minh \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n}-2\sqrt{n+1} < 0 \ (2)\)

Thật vậy ta có \((2)\Leftrightarrow \sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2\sqrt{n+1}\)

\(\Leftrightarrow 2\sqrt{n(n+2)}<2n+2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{n(n+2)}

\(\Leftrightarrow n^2+2n

⇒ (2) đúng.

Từ (1), (2) \(\Rightarrow u_{n+1}-u_n<0\)

\(\Rightarrow (u_n)\) dãy số giảm.

Ta có \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \frac{1}{\sqrt{n+1}}+\sqrt{n}\)

Từ đó \(\Rightarrow 0

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 7 trang 107 SGK SGK Đại số & Giải tích 11 HAY thì click chia sẻ 

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

AMBIENT
?>