Bài tập 3.39 trang 133 SBT Toán 11

a) Với n = 4 thì 3^4–1 = 27 > 4(4 + 2) = 24

Giả sử đã có

3^k−1 > k(k + 2) với k ≥ 4   (1)

Nhân hai vế của (1) với 3, ta có

3.3^k−1 = 3(k + 1) – 1 > 3k(k + 2) = (k + 1)[(k + 1) + 2] + 2k² + 2k − 3

Do 2k² + 2k – 3 > 0 nên 3^(k+1)–1 > (k + 1)[(k + 1) + 2]

Chứng tỏ bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

b) Với n = 8 ta có: 2⁸⁻³ = 32 > 3.8−1 = 23

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k(k > 8) tức là: 2^k−3 > 3k−1

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k+1

Ta có:

\({2^{\left( {k + 1} \right) - 3}} = {2.2^{k - 3}} > 2\left( {3k - 1} \right) = 6k - 2 = 3\left( {k + 1} \right) - 1 + 3k - 4\)

Vì k > 8 nên 3k−4 > 0

Do vậy 2^(k+1)−3 ≥ 3(k+1)−1

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n.

-- Mod Toán 11 HỌC247