Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương III Dãy số, Cấp số cộng và Cấp số nhân

Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm?

Cho cấp số nhân có u₁ < 0 và công bội q. Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:

a) q > 0

b) q < 0

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng. Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Cho hai cấp số nhân có cùng có các số hạng. Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa.

Chứng minh rằng với mọi n ∈ N*, ta có:

a) 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) 3n³ + 15n chia hết cho 9

Cho dãy số (u_n), biết u₁ = 2, u_n+1= 2u_n – 1 (với n ≥ 1)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Chứng minh: u_n = 2^n-1 + 1 bằng phương pháp quy nạp.

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số (u_n), biết:

a) \(u_n=n+\frac{1}{n}\)

b) \(u_n=(-1)^{n-1}sin\frac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

Tìm số hạng đầu u₁ và công sai d của các cấp số cộng (u_n) biết:

a) \(\left\{\begin{matrix} 5u_1+10u_n=0\\ s_4=14 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_7+u_{15}=60\\ u_{4}^{2}+u_{12}^{2}=1170 \end{matrix}\right.\)

Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của các cấp số nhân (u_n) biết: 

a) \(\left\{\begin{matrix} u_6=192\\ u_7=384 \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix} u_1-u_2=72\\ u_5-u_3=144 \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix} u_2+u_5-u_4=10\\ u_3+u_6-u_5=20 \end{matrix}\right.\)

Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D. Biết rằng góc C gấp 4 lần góc A. Tính các góc của tứ giác.

Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân.

Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là 12 288m². Tính diện tích mặt trên cùng.

Chứng minh rằng nếu các số a², b², c² lập thành một cấp số cộng (abc ≠ 0) thì các số \(\frac{1}{b+c},\frac{1}{c+a},\frac{1}{a+b}\) cũng lập thành một cấp số cộng.

Cho dãy số (u_n), biết u_n = 3ⁿ. Hãy chọn phương án đúng:

a) Số hạng u_n+1 bằng:

A. 3ⁿ+1                   B. 3ⁿ + 3                   C. 3ⁿ.3                        D. 3(n+1)

b) Số hạng u_2n bằng:

A. 2.3ⁿ                    B. 9ⁿ                      C. 3ⁿ + 3                        D. 6n

c) Số hạng u_n-1 bằng :

A. 3ⁿ -1                 B. \(\frac{1}{3}.3^n\)                        C. 3ⁿ – 3                  D. 3n – 1

d) Số hạng u_2n-1 bằng:

A. 3².3ⁿ -1            B. 3ⁿ.3^n-1                       C. 3²ⁿ – 1                  D. 3^{2n – 1}

Hãy cho biết dãy số (u_n) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát u_n của nó là:

(A) \((-1)^{n+1}.sin\frac{\pi }{2}\)

(B) \((-1)^{2n}.(5^n+1)\)

(C) \(\frac{1}{\sqrt{n+1}+n}\)

(D) \(\frac{n}{n^2+1}\)

Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = -6, y = -2                                                    B. x = 1, y = 7

C. x = 2, y = 8                                                       D. x = 2, y = 10

Cho cấp số nhân -4, x, -9. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. x = 36          B. x = -6,5            C. x = 6           D. x -36

Cho cấp số cộng (u_n). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau:

A. \(\frac{u_{10}+u_{20}}{2}=u_5+u_{10}\)

B. \(u_{90}+u_{210}=2 u_{150}\)

C. \(u_{10}.u_{30}=u_{20}\)

D. \(\frac{u_{10}.u_{30}}{2}=u_{20}\)

Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
(A) \(\left\{\begin{matrix} u_1=2\\ u_{n+1}=u^2_n \end{matrix}\right.\)

(B) \(\left\{\begin{matrix} u_1=-1\\ u_{n+1}=3u_n \end{matrix}\right.\)

(C) \(\left\{\begin{matrix} u_1=3\\ u_{n+1}=u_n+1 \end{matrix}\right.\)

(D) \(7,77,777,...,\underbrace{77...7}_{n \ chu \ so \ 7}\)

Chứng minh rằng

a) n⁵ − n chia hết cho 5 với mọi n ∈ N^∗;

b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9 ;

c) n³ − n chia hết cho 6 với mọi n ∈ N^∗;

Chứng minh các đẳng thức sau với n ∈ N^∗

a) \({A_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{n(n + 1)(n + 2)}} = \frac{{n(n + 3)}}{{4(n + 1)(n + 2)}}\)

b) \({B_n} = 1 + 3 + 6 + 10 + ... + \frac{{n(n + 1)}}{2} = \frac{{n(n + 1)(n + 2)}}{6}\)

c) \({S_n} = \sin x + \sin 2x + \sin 3x + ... + \sin nx = \frac{{\sin \frac{{nx}}{2}.\sin \frac{{(n + 1)x}}{2}}}{{\sin \frac{x}{2}}}\)

Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) 3n − 1 > n(n + 2) với n ≥ 4 ;

b) 2^{n − 3} > 3n − 1 với n ≥ 8

Cho dãy số \(({u_n}):\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1,{u_2} = 2\\
{u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 1,\,\,n \ge 2
\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số (v_n) với v_n = u_n+1−u_n

Chứng minh dãy số (v_n) là cấp số cộng

c) Tìm công thức tính u_n theo n

Cho dãy số (u_n): \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{1}{3}\\
{u_{n + 1}} = \frac{{(n + 1){u_n}}}{{3n}},\,\,n \ge 1
\end{array} \right.\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Lập dãy số (v_n) với \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\);

Chứng minh  dãy số (v_n) là cấp số nhân

c) Tìm công thức tính u_n theo n.

Ba số có tổng là 217 có thể coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc là các số hạng thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng của chúng là 820?

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10, còn các số hạng thứ ba bằng nhau. Tìm các cấp số ấy.

Chứng minh rằng nếu ba số lập thành một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau.

Cho cấp số nhân (u_n) có công bội là q và số các số hạng là chẵn. Gọi S_c là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và S_l là tổng các số hạng có chỉ số lẻ.

Chứng minh rằng \(q = \frac{{{S_c}}}{{{S_l}}}\)

Có thể có một tam giác vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng.

Tính tổng 

a) \(\frac{1}{2} + \frac{3}{{{2^2}}} + \frac{5}{{{2^3}}} + ... + \frac{{2n - 1}}{{{2^n}}}\)

b) \({1^2} - {2^2} + {3^2} - {4^2} + ... + {( - 1)^{n - 1}}.{n^2}\)

Tính tổng

a) \({S_n} = 1 + 2a + 3{a^2} + ... + n{a^{n - 1}}\)

b) \(S_n=1x+2x^2+3x^3+...+nx^n\)

Tìm m để phương trình \({x^4} - (3m + 5){x^2} + {(m + 1)^2} = 0\) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng.

Trong các dãy số (u_n) sau đây, hãy chọn dãy số giảm:

A. \({u_n} = \sin n\)

B. \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{n}\)

C. \({u_n} = \sqrt n  - \sqrt {n - 1} \)

D. \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)

Trong các dãy số (u_n) sau đây, hãy chọn dãy số bị chặn:

A. \({u_n} = \sqrt {{n^2} + 1} \)

B. \({u_n} = n + \frac{1}{n}\)

C. \({u_n} = {2^n} + 1\)

D. \({u_n} = \frac{n}{{n + 1}}\)

Cho cấp số nhân (u_n), biết u₁ = 3, u₂ = −6. Khi đó:

A. \({u_5} =  - 24\)

B. \({u_5} =  48\)

C. \({u_5} =  - 48\)

D. \({u_5} =   24\)

Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
{u_{n + 1}} = u_n^3 - 1
\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 2\\
{u_{n + 1}} = {u_n} + n
\end{array} \right.\)

C. \(\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} =  - 1\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = 2
\end{array} \right.\)

D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = 3}\\
{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1}
\end{array}} \right.\)

Cho cấp số cộng 6, x, −2, y. Kết quả nào sau đấy là đúng?

A. x = 2, y = 5

B. x = 4, y = 6

C. x = 2, y = −6

D. x = 4, y = −6

Cho cấp số nhân −2, x, −18, y. Khi đó

A. x = 6, y = −54

B. x = −10, y = −26

C. x = −6, y = −54

D. x = −6, y = 54

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3ⁿ. Hãy chọn hệ thức đúng:

A. \(\frac{{{u_1} + {u_9}}}{2} = {u_5}\)

B. \(\frac{{{u_2}{u_4}}}{2} = {u_3}\)

C. \(1 + {u_1} + {u_2} + ... + {u_{100}} = \frac{{{u_{100}} - 1}}{2}\)

D. \({u_1}{u_2}...{u_{100}} = {u_{5050}}\)

Chứng minh rằng:

\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = \frac{{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)}}{{12}}\)    (1)

Với mọi số nguyên n ≥ 2.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 2 và \({u_n} = \frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}\) với mọi n ≥ 2

Chứng minh rằng:

\({u_n} = \frac{{{2^{n - 1}} + 1}}{{{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Cho các dãy số (un) và (vn) với \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({u_n} = \frac{{{n^2} + 1}}{{n + 1}}\) và \({v_n} = \frac{{2n}}{{n + 1}}\)

a. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (a_n) với a_n = u_n + v_n

b. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (b_n) với b_n = u_n – v_n

c. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (c_n) với c_n = u_n.v_n

d. Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số (d_n) với \({d_n} = \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\)

Chú ý

Các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) nêu trên thường được kí hiệu tương ứng bởi (u_n + v_n), (u_n – v_n), (u_n.vn), \(\left( {\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}} \right)\).

Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, dãy số nào là cấp số nhân ? Hãy xác định công sai hoặc công bội của mỗi cấp số đó.

a. Dãy số (u_n) với u_n = 8n + 3

b. Dãy số (u_n) với u_n = n²+n+1

c.  Dãy số (u_n) với u_n = 3.8ⁿ

d. Dãy số (u_n) với u_n = (n+2).3ⁿ

Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :

a. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+5 với mọi n ≥ 1

là một cấp số cộng.

b. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 3 và u_n+1 = u_n+n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số cộng.

c. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 4 và u_n+1 = 5u_n với mọi n ≥ 1,

là một cấp số nhân.

d. Dãy số (u_n) xác định bởi

u₁ = 1 và u_n+1 = nu_n với mọi n ≥ 1

là một cấp số nhân.

Cho dãy hình vuông H₁, H₂, …, H_n,… Với mỗi số nguyên dương n, gọi u_n, p_n và S_n lần lượt là độ dài cạnh, chu vi và diện tích của hình vuông Hn.

a. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số cộng với công sai khác 0. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số cộng hay không ? Vì sao ?

b. Giả sử dãy số (u_n) là một cấp số nhân với công bội dương. Hỏi khi đó các dãy số (p_n) và (S_n) có phải là các cấp số nhân hay không ? Vì sao ?

Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

u₁ = 3 và \({u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n} + 6} \) với mọi n ≥ 1

Chứng minh rằng (u_n) vừa là cấp số cộng, vừa là cấp số nhân.

Tìm hiểu tiền công khoan giếng ở hai cơ sở khoan giếng, người ta được biết:

- Ở Cơ sở A: Giá của mét khoan đầu tiên là 8000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 500 đồng so với giá của mét khoan ngay trước nó.

- Ở Cơ sở B: Giá của mỗi mét khoan đầu tiên là 6 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 7% giá của mét khoan ngay trước nó.

Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu un và vn tương ứng là giá trị của mét khoan thứ n theo cách tính giá của cơ sở A và của cơ sở B.

a. Hãy tính u₂, u₃, v₂, v₃.

b. Chứng minh rằng dãy số (u_n) là một cấp số cộng và dãy số (v_n) là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng tổng quát của mỗi dãy số đó.

c. Một người muốn chọn một trong hai cơ sở nói trên để thuê khoan một giếng sâu 20 mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi người ấy nên chọn cơ sở nào, nếu chất lượng cũng như thời gian khoan giếng của hai cơ sở là như nhau?

d. Cũng câu hỏi như phần c, với giả thiết độ sâu của giếng khoan là 25 mét.

Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai :

a. Tồn tại một cấp số nhân (u_n) có u₅ < 0 và u₇₅ > 0

b. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng có công sai khác 0 thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\)${\mathrm{}}^{}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số cộng.

c. Nếu các số thực a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân thì các số \{a^2},{b^2},{c^2}\)${\mathrm{}}^{}$ theo thứ tự đó cũng lập thành một cấp số nhân.

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : \({u_1} = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = \frac{1}{2}\)$\text{ và ({u\_n} = {u\_{n - 1}} + 2n)}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₅₀ bằng :

A. 1274,5

B. 2548,5

C. 5096,5

D. 2550,5

Cho dãy số (u_n) xác định bởi u₁ = −1 và \[{u_1} =  - 1\)$\text{ và ({u\_n} = 2n.{u\_{n - 1}})}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó u₁₁ bằng :

A. 2¹⁰.11!

B. -2¹⁰.11!

C. 2¹⁰.11¹⁰

D. - 2¹⁰.11¹⁰

Cho dãy số (u_n) xác định bởi : u₁ = 150 và \({u_1} = 150\)$\text{ và ({u\_n} = {u\_{n - 1}} - 3)}$ với mọi n ≥ 2.

Khi đó tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số đó bằng

A. 150

B. 300

C. 29850

D. 59700

Cho cấp số cộng (u_n) có : u₂ = 2001 và u₅ = 1995.

Khi đó u₁₀₀₁ bằng

A. 4005

B. 4003

C. 3

D. 1

Cho cấp số nhân (un) có u₂ = -2 và u₅ = 54.

Khi đó tổng 1000 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó bằng

A. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{4}\)

B. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{2}\)

C. \(\frac{{{3^{1000}} - 1}}{6}\)

D. \(\frac{{1 - {3^{1000}}}}{6}\)