YOMEDIA
NONE

Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC

Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC

Giải các hệ phương trình

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} + x + y = 8\\
xy + x + y = 5
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + {y^2} - x + y = 2\\
xy + x - y =  - 1
\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
{y^2} - 3y = 2x
\end{array} \right.\)

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Đặt S = x + y; P = xy ta có hệ:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S + P = 5}\\
{{S^2} - 2P + S = 8}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = 5 - S}\\
{{S^2} - 2\left( {5 - S} \right) + S = 8}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{P = 5 - S}\\
{{S^2} - 3S - 18 = 0}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S = 3}\\
{P = 2}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S =  - 6}\\
{P = 11}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:

\({x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right.\)

Ta có nghiệm (1;2) và (2;1)

ii) Với S = - 6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 - 4P = 36 - 44 = - 8 < 0 

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;2) và (2;1).

b) Đặt x' = - x, ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x{'^2} + {y^2} + x' + y = \\
2 - x'y - x' - y =  - 1
\end{array} \right.\)

Đặt S = x' + y, P = x'y ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} - 2P + S = 2}\\
{S + P = 1}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} + S - 2\left( {1 - S} \right) = 2}\\
{P = 1 - S}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{S^2} + 3S - 4 = 0}\\
{P = 1 - S}
\end{array}} \right.}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S = 1}\\
{P = 0}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{S =  - 4}\\
{P = 5}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

+ Với S = 1, P = 0 thì x', y là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
{X^2} - X = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{X = 0}\\
{X = 1}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = 1}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.
\end{array}\) 

Ta có nghiệm (0;1) và (- 1;0)

+ Với S = - 4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì \({S^2} - 4P < 0\)

Vậy hệ có nghiệm là (0;1) và (- 1;0)

c) Trừ theo vế của hai phương trình ta được:

x2 – y– 3x + 3y = 2y – 2x

⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0

⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0

⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0

Vậy hệ đã cho tương ứng với:

\(\left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x - y = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( I \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 3x = 2y\\
x + y - 1 = 0
\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {II} \right)
\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 3x = 2y}\\
{x - y = 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x\left( {x - 5} \right) = 0}\\
{x = y}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = y = 0}\\
{x = y = 5}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - 3x = 2\left( {1 - x} \right)}\\
{y = 1 - x}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} - x - 2 = 0}\\
{y = 1 - x}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y =  - 1}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm là (0;0), (5;5), (- 1;2), (2; - 1)

-- Mod Toán 10 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 46 trang 100 SGK Toán 10 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF