Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đường thẳng \(d:y = mx + 1\) cắt đồ thị \(\left( C \right):{x^3} - {x^2} + 1\) tại ba điểm \(A;B\left( {0;1} \right);C\) phân biệt sao cho tam giác AOC vuông tại \(O\left( {0;0} \right)\)? - {x^2} + 1\) tại ba điểm \(A;B\left( {0;1} \right);C\) phân biệt sao cho tam giác AOC vuông tại \(O\left( {0;0} \right)\)?

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị (C):

\({x^3} - {x^2} + 1 = mx + 1 \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - mx = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} - x - m = 0\left( * \right)
\end{array} \right.\)          

Để d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  = 1 + 4m > 0\\
{0^2} - 0 - m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  - \frac{1}{4}\\
m \ne 0
\end{array} \right.\) 

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow B\left( {0;1} \right)\) 

Gọi \(x_1, x_2\) là hai nghiệm của phương trình (*) thì \(A\left( {{x_1};m{x_1} + 1} \right);C\left( {{x_2};m{x_2} + 2} \right)\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 1\\
{x_1}.{x_2} =  - m
\end{array} \right.\) 

Để tam giác AOC vuông tại O thì \(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  = 0 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + \left( {m{x_1} + 1} \right)\left( {m{x_2} + 1} \right) = 0\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {m^2}{x_1}{x_2} + m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 = 0\\
 \Leftrightarrow  - m + {m^2}.m + m.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow {m^3} + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1
\end{array}\) 

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn điều kiện đề bài.