Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD).
- A. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
- B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
- C. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
- D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: B

Gọi H là trung điểm của AB suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Ta thấy: \(BC//AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right)\) (vì H là trung điểm của AB)

Gọi K là hình chiếu của H lên \(SA \Rightarrow HK \bot SA\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}
AD \bot AB\\
AD \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot HK\)

Từ hai điều trên suy ra \(HK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = HK\)

Tam giác SAB đều cạnh a nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HA = \frac{a}{2} \Rightarrow HK = \frac{{HA.HS}}{{SA}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE