• Câu hỏi:

    Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy nằm trong hình vuông ABCD. Hai mặt phẳng (SAD), (SBC) vuông góc với nhau; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 600; góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là 450 . Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD), tính \(\cos \alpha \) 

    • A. \(\cos \alpha  = \frac{1}{2}\)
    • B. \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
    • C. \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
    • D. \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, giả sử ABCD là hình vuông cạnh l,

    chiều cao hình chóp SH = h.

    Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;1;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),C\left( {1;1;0} \right)\).

    Gọi tọa độ \(H\left( {a;b;0} \right) \Rightarrow S\left( {a;b;h} \right)\) 

    Ta có: \(\overrightarrow {AS}  = \left( {a;b;h} \right),\overrightarrow {AD}  = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AS} ;\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - h;0;a} \right)\) 

    \(\overrightarrow {BS}  = \left( {a - 1;b;c} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {0;1;0} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {BS} ;\overrightarrow {BC} } \right] = \left( { - h;0;a - 1} \right)\) 

    \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;0;0} \right),\overrightarrow {AS}  = \left( {a;b;h} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAB} \right)}} = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {0; - h;b} \right)\)

    \({\overrightarrow n _{\left( {ABCD} \right)}} = \overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) 

    Do \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow {\overrightarrow n _{\left( {SAD} \right)}}.{\overrightarrow n _{\left( {SBC} \right)}} = 0 \Leftrightarrow {h^2} + a\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} + {a^2} = a\,\,\left( 1 \right)\) 

    Góc giữa (SAB) và (SBC) bằng \({60^0} \Rightarrow \cos {60^0} = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SBC} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {b\left( {a - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}.\sqrt {{h^2} + {b^2}} } }}\)  

    \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{b\left( {a - 1} \right)}}{{\sqrt {1 - a} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \frac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {1 - a} }}\) 

    Góc giữa (SAB) và (SAD) là \({45^0} \Rightarrow \cos {45^0} = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|.\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAD} \right)}}} \right|}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| {ab} \right|}}{{\sqrt {{h^2} + {a^2}} \sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\) 

    \( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}\) 

    Suy ra \(\frac{{ab}}{{\sqrt a .\sqrt {{h^2} + {b^2}} }}:\frac{{b\sqrt {1 - a} }}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}:\frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt {1 - a} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}\)

    Gọi góc giữa (SAB) và (ABCD) là \(\alpha  \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}.{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {SAB} \right)}}} \right|\left| {{{\overrightarrow n }_{\left( {ABCD} \right)}}} \right|}} = \frac{b}{{\sqrt {{h^2} + {b^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {a - \frac{2}{3}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) 

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC