• Câu hỏi:

    Cho các số thực \(a, b >1\) thỏa mãn \({a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{{{\log }_a}\left( {\frac{{{b^8}}}{{{a^3}}}} \right)}} = 12{b^2}\) giá trị của biểu thức \(P = {a^3} + {b^3}\) là

    • A. P = 20
    • B. P = 39
    • C. P = 125
    • D. P = 72

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Ta có \({a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{{{\log }_a}\left( {\frac{{{b^8}}}{{{a^3}}}} \right)}} = 12{b^2} \Leftrightarrow {a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{\left( {{{\log }_a}{b^8} - {{\log }_a}{a^3}} \right)}} = 12{b^2}\) 

    \( \Leftrightarrow {a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{\left( {{{\log }_a}{b^8} - {{\log }_a}{a^3}} \right)}} = 12{b^2} \Leftrightarrow {a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{\left( {8{{\log }_a}b - 3} \right)}} = 12{b^2} \Leftrightarrow {a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{\left( {\frac{8}{{{{\log }_b}a}} - 3} \right)}} = 12{b^2}\,\,(*)\)

    Đặt \({\log _a}b = t \Rightarrow a = {b^t}\). Lại có vì \(a,b > 1 \Rightarrow {\log _a}b > 0\) hay t > 0.

    Khi đó ta có

    \(VT\left( * \right) = {a^{{{\log }_b}a}} + 16{b^{\left( {\frac{8}{{{{\log }_b}a}} - 3} \right)}} = {\left( {{b^t}} \right)^t} + 16.{b^{\frac{8}{t} - 3}} = {b^{{t^2}}} + 8.{b^{\frac{8}{t} - 3}} + 8.{b^{\frac{8}{t} - 3}}\)  

    \(\begin{array}{l}
    \mathop  \ge \limits^{Co  - si} 3\sqrt[3]{{{b^{{t^2}}}.8.{b^{\frac{8}{t} - 3}}8.{b^{\frac{8}{t} - 3}}}} = 12\sqrt[3]{{{b^{{t^2}}}{b^{\frac{8}{t} - 3}}{b^{\frac{8}{t} - 3}}}}12\sqrt[3]{{{b^{{t^2} + \frac{8}{t} + \frac{8}{t} - 6}}}}\\
    \mathop  \ge \limits^{Co  - si} 12\sqrt[3]{{{b^{3\sqrt[3]{{{t^2}.\frac{8}{t}.\frac{8}{t} - 6}}}}}} = 12\sqrt[3]{{{b^6}}} = 12{b^2}\left( {vi \,\,{t^2} + \frac{8}{t} + \frac{8}{t} \ge 3\sqrt[3]{{{t^2}.\frac{8}{t}.\frac{8}{t}}} = 3} \right)
    \end{array}\) 

    Hay \(VT\left( * \right) \ge 12{b^2}\), dấu = xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}
    {b^{{t^2}}} = 8{b^{\frac{8}{t} - 3}}\\
    {t^2} = \frac{8}{t}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    t = 2\\
    {b^4} = 8b
    \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    t = 2\\
    b = 2
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\log _b}a = 2\\
    b = 2
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    b = 2\\
    a = 4
    \end{array} \right.\left( {TM} \right)\)  

    Suy ra \(P = {a^3} + {b^3} = 64 + 8 = 72\).

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC