• Câu hỏi:

    Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh \(a,AA' = 2a\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AB' và BC'. Tính \(\cos \alpha \)   

    • A. \(\cos \alpha  = \frac{5}{8}\)
    • B. \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {51} }}{{10}}\)
    • C. \(\cos \alpha  = \frac{{\sqrt {39} }}{8}\)
    • D. \(\cos \alpha  = \frac{7}{{10}}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB', BB', B'C'.

    Ta có: MN // AB' và NP // BC' (đường trung bình trong tam giác)

    Do đó góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng MNNP.

    Gọi Q là trung điểm của A'B' thì \(MQ \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow MQ \bot QP\) 

    Tam giác MQP có \(MQ = AA' = 2a,Q = \frac{1}{2}A'C' = \frac{a}{2}\) 

    \( \Rightarrow MP = \sqrt {M{Q^2} + Q{P^2}}  = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

    Lại có  \(MN = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + BB{'^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) 

    \(NP = \frac{1}{2}BC' = \frac{1}{2}\sqrt {BB{'^2} + B'C{'^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) 

    Áp dụng định lý hàm số cô sin trong tam giác MNP ta có:

    \(\cos MNP = \frac{{M{N^2} + N{P^2} - M{P^2}}}{{2MN.NP}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4} - \frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} =  - \frac{7}{{10}} < 0\) 

    Do đó góc giữa hai đường thẳng MNNP thỏa mãn \(\cos \left( {MN,MP} \right) = \frac{7}{{10}}\) 

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC