• Câu hỏi:

    Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = {m^2} - 1\). Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m.

    • A. P = 12
    • B. \(P = \frac{1}{2}\)
    • C. P = 16
    • D. P = 24

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{9^x} + 3} \right) - 3 + 3m}}{{{9^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{{{9^x} + 3}}} \right)} dx\)

    \( = x\left| \begin{array}{l}
    ^1\\
    _0
    \end{array} \right. + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx = 1 + } 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \) 

    Ta tính \(J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \) 

    Đặt \({9^x} + 3 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {9^x}.\ln 9dx = dt\\
    {9^x} = t - 3
    \end{array} \right. \Rightarrow dx = \frac{1}{{\ln 9}}.\frac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)}}\) 

    Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
    x = 0 \Rightarrow t = 4\\
    x = 1 \Rightarrow t = 12
    \end{array} \right.\) 

    Khi đó \(J = \int\limits_4^{12} {\frac{1}{t}.\frac{1}{{\ln 9}}.\frac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = } \frac{1}{{\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\frac{1}{t}.} \frac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = \frac{1}{{3\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{t}} \right)dt} \)  

    \( = \frac{1}{{3\ln 9}}\ln \left| {\frac{{t - 3}}{t}} \right|\left| \begin{array}{l}
    ^{12}\\
    _4
    \end{array} \right. = \frac{1}{{3\ln 9}}\left( {\ln \frac{3}{4} - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{{3.2\ln 3}}.\ln 3 = \frac{1}{6}\) 

    Suy ra \(I = 1 + 3\left( {m - 1} \right).\frac{1}{6} = 1 + \frac{{m - 1}}{2}\), theo đề bài ta có \(1 + \frac{{m - 1}}{2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    m = 1\\
    m =  - \frac{1}{2}
    \end{array} \right.\) 

    Tổng các giá trị của m là \(1 + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\) 

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC