• Câu hỏi:

    Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) và \(g\left( x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2\) (với m là tham số). Hỏi phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có bao nhiêu nghiệm?

    • A. 9
    • B. 0
    • C. 3
    • D. 1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2 = 0\) 

    \(\begin{array}{l}
     \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 10} \right){x^2} + {x^2} - 3x + 2 = 0\\
     \Leftrightarrow {x^2}\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)x - 2\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
     \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
     \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 2\\
    \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1 = 0\,\,\left( * \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}\)  

    Xét phương trình (*): vì \(\left\{ \begin{array}{l}
    {m^2} + 2m + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\\
    ac =  - \left( {{m^2} + 2m + 5} \right) < 0;\forall m\\
    \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){.2^2} + 2 - 1 = 4{m^2} + 8m + 21 > 0
    \end{array} \right.\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(u;v \ne 2\) 

    Hay \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 2\\
    x = u\\
    x = v
    \end{array} \right.\) 

    + Lại có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) 

    \( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3{m^2} + 4m + 5 = {\left( {x - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} + 2{m^2} + 2m + 3 > 0;\forall m\) nên hàm số \(f(x)\) là hàm đồng biến trên R.

    Từ đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    f\left( x \right) = 2\,\,\left( 1 \right)\\
    f\left( x \right) = u\,\,\left( 2 \right)\\
    f\left( x \right) = v\,\,\left( 3 \right)
    \end{array} \right.\) 

    Vì \(f(x)\) là hàm đồng biến nên mỗi phương trình (1);(2);(3) đều chỉ có 1 nghiệm duy nhất và ba nghiệm của phương trình này khác nhau.

    Từ đó phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC