Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của A' xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC'A') tạo với đáy góc \(45^0\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của A' xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC'A') tạo với đáy góc \(45^0\). Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
- A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
- B. \(\frac{{{2a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
- C. \(\frac{{3{a^3}}}{{16}}.\)
- D. \(\frac{{{a^3}}}{{16}}.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Gọi H, M, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AM.

Do \(A'H \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow A'H \bot AC\). Có \(HI{\rm{//}}BM,\;BM \bot AC \Rightarrow HI \bot AC\)

Do đó \(AC \bot \left( {A'HI} \right) \Rightarrow AC \bot A'I\), suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ACC'A') và (ABC) là góc giữa A'I và IH, tức là góc \(\widehat {A'IH} = 45^\circ \).

Có \(IH = \frac{1}{2}BM = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Trong tam giác A'HI có \(A'H = IH.\tan \widehat {A'IH} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\tan 45^\circ = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\). Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{{16}}\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE