YOMEDIA
  • Câu hỏi:

    Cho hình vuông ABCD cạnh \(a\) trên đường thẳng vuông góc với (ABCD) tại A ta lấy điểm S di động. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Thể tích lớn nhất của tứ diện ACHK bằng

    • A. \(\frac{{{a^3}}}{6}.\)
    • B. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}.\)
    • C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{32}}.\)
    • D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Tham khảo hình vẽ. Ta sẽ sử dụng công thức \(V = \frac{1}{6}a.b.d\left( {a,b} \right).\sin \left( {a,b} \right).\)

    Đặt \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right).\) Tính được \(KH = \frac{{{x^2}a\sqrt 2 }}{{{a^2} + {x^2}}},IH = \frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}}.\)

    Chứng minh được \(HI = d\left( {KH,AC} \right)\) và \(AC \bot HK.\)

    Khi đó \({V_{ACHK}} = \frac{1}{6}AC.KH.HI = \frac{1}{6}.a\sqrt 2 .\frac{{{x^2}a\sqrt 2 }}{{{a^2} + {x^2}}}.\frac{{{a^2}x}}{{{a^2} + {x^2}}} = \frac{{{a^4}}}{3}.\frac{{{x^3}}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^2}}}.\)

    Xét hàm \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{{\left( {{x^2} + {a^2}} \right)}^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right),\) ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{{16a}}\) khi \(x = a\sqrt 3 .\)

    Suy ra thể tích khối tứ diện lớn nhất bằng \({V_{\max }} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{16}}.\) 

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

 

YOMEDIA