YOMEDIA
  • Câu hỏi:

    Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + e\) (với \(a,b,c,d,e \in R\) và \(a \ne 0;{\rm{ }}b \ne 0\)) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Khi đó đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) = 0\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?

    • A. 0
    • B. 2
    • C. 4
    • D. 6

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi các hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và trục hoành là \({x_1},{\rm{ }}{x_2},{\rm{ }}{x_3},{\rm{ }}{x_4}.\) Suy ra \(f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right).\)

    Đạo hàm \(f'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\left( {x - {x_4}} \right)\)

    \( + \,a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_4}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right).\)

    Ta có \(g\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} - f''\left( {{x_i}} \right).f\left( {{x_i}} \right) = {\left[ {f'\left( {{x_i}} \right)} \right]^2} > 0,{\rm{ }}\forall {x_i}\) 

     \(g\left( x \right) = 0\) không có nghiệm \(x_i\)

    Xét \(x \ne {x_i},\) ta có \(f'\left( x \right) = f\left( x \right)\left( {\frac{1}{{x - {x_1}}} + \frac{1}{{x - {x_2}}} + \frac{1}{{x - {x_3}}} + \frac{1}{{x - {x_4}}}} \right) = f\left( x \right).\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} \)

    \( \Rightarrow \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}}  \Rightarrow {\left( {\frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {\sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{x - {x_i}}}} } \right)^\prime } \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right).f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} =  - \sum\limits_{i = 1}^4 {\frac{1}{{{{\left( {x - {x_i}} \right)}^2}}} < 0} ,\forall x\) 

    hay \({\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - f''\left( x \right).f\left( x \right) > 0,{\rm{ }}\forall x \ne {x_i}\)

    Vậy trong mọi trường hợp phương trình \(g(x)=0\) đều vô nghiệm.

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>