AMBIENT

Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12

Giải bài 9 tr 26 sách GK Toán Hình lớp 12

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi M là trung điểm của SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 9

Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12

Gọi O là giao điểm của AC và BD. AM cắt SO tại I.

Do mặt phẳng chứ AM, song song với BD nên E, F lần lượt là các giao điểm của đường thẳng qua I, song song với BD với các đường thẳng SB, SD.

Ta có: \(DB\perp AC\) (giả thiết)

\(SO\perp BD\) (vì S.ABCD là hình chóp đều)

Nên \(BD\perp (SAC)\Rightarrow EF\perp (SAC)\)

\(\Rightarrow EF\perp SC\)  (1)

Mặt khác tam giác SAC cân tại S, hơn nữa theo giả thiết thì góc giữa SA và (ABCD) bằng 600 tức là góc \(\widehat{SAC}=60^0\) nên \(\Delta SAC\) đều. Vì M là trung điểm của SC nên \(AM\perp SC\) (2)

Từ (1) và (2), ta có: \(SC\perp (AEMF)\Rightarrow SM\) là chiều cao của khối chóp S.AEMF

Cũng từ \(EF\perp (SAC)\Rightarrow EF\perp AM\)

\(\Rightarrow S_{AEMF}=\frac{1}{2} EF.AM\)

\(\Rightarrow V_{S.AEMF}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}EF.AM.SM\) (*)

Vì \(\Delta SAC\) đều và \(AC=a\sqrt{2}\) (đường chéo của hình vuông cạnh a) nên \(SC=a\sqrt{2}\Rightarrow SM=\frac{a\sqrt{2}}{2}(3)\)

Cũng vì \(\Delta SAC\) đều cạnh \(a\sqrt{2}\) nên \(AM=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2} \ (4)\)

Để thấy I là trọng tâm của tâm giác SDB nên theo định lý Talet ta có:

\(\frac{EF}{BD}=\frac{SI}{SO}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=\frac{2}{3}BD\)

\(= \frac{2}{3}a\sqrt{2} (5)\)

Thay (3), (4) và (5) vào (*) ta có:

\(V_{S.AEMF}=\frac{1}{6}.\frac{2}{3}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}. \frac{a\sqrt{6}}{2}=\frac{a^3\sqrt{6}}{18}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 9 trang 26 SGK Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 

 

RANDOM