YOMEDIA

Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12

Giải bài 8 tr 26 sách GK Toán Hình lớp 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuông góc với đáy và AB=a, AD=b, SA=c. Lấy các điểm B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD sao cho \(AB'\perp SB, AD'\perp SD\). Mặt phẳng (AB'D') cắt SC tại C'. Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết bài 8

Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12

Dựng điểm C' như hình vẽ. 

Ta có: \(BC\perp AB\) (giả thiết)  (1)

Mặt khác: \(SA\perp (ABCD)\) nên \(SA\perp BC\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(BC\perp (SAB)\)

\(\Rightarrow BC\perp AB'\)       (3)

Ta có: \(AB'\perp SB\) (giả thiết)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra suy ra \(AB'\perp (SBC)\)

Hay ta có được \(AB'\perp BC'\)

\(\Leftrightarrow \Delta AB'C'\) vuông tại B'

Hoàn toàn tương tự ta cũng có \(\Delta AD'C'\) vuông tại D'

Ta có: \(AB'\perp SC;AD'\perp SC\) 

(vì \(AB'\perp (SBC), AD'\perp (SDC)\))

Nên \(SC\perp (AB'C'D')\). Vì vậy:

\(V_{S.AB'C'D'}=\frac{1}{3}.S_{AB'C'D'}.SC'\)

\(=\frac{1}{3} \left [ S_{\Delta AB'C'}+S_{\Delta AD'C'} \right ].SC'\)

\(=\frac{1}{6}\left [ AB'.B'C'+AD'.D'C' \right ].SC' \ \ (*)\)

Ta có:

\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2+c^2}{a^2.c^2} \)

\(\Rightarrow AB^2=\frac{a^2.c^2}{a^2+c^2}\Rightarrow AB^2= \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}\) (5)

Tương tự: \(AD'^2=\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\Rightarrow AD'=\frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}}\)  (6)

\(\frac{1}{AC'^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2+b^2}\)

\(= \frac{a^2+b^2+c^2}{c^2(a^2+b^2)}\)

\(\Rightarrow AC'^2=\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow AC'= \frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)  (7)

\(\Rightarrow BC'^2=AC'^2-AB'^2\)

\(=-\frac{a^2c^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}\)

\(=\frac{-a^4c^2-a^2b^2c^2-a^2c^4+a^4c^2+c^4a^2+a^2b^2c^2+c^4b^2} {(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(=\frac{c^4b^2}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\)

\(\Rightarrow B'C'=\frac{c^2b}{\sqrt{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (8)\)

Tương tự: \(C'D'=\frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}} \ \ (9);\)

\(SC'= \frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \ \ (10)\)

Thay (5) (6) (7) (8) (9) và (10) vào (*) ta có:

\(V_{S.AB'C'D'}=\)

\(\frac{1}{6}\Bigg [ \frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^2b}{(a^2+c^2)(a^2+b^2+c^2)}\).\(+ \frac{bc}{\sqrt{a^2+c^2}}. \frac{c^2a}{\sqrt{(b^2+c^2)}(a^2+b^2+c^2)} \Bigg ]\) \(\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)

\(=\frac{1}{6}\frac{c^5ab}{a^2+b^2+c^2} \left [ \frac{1}{a^2+c^2}+\frac{1}{b^2+c^2} \right ]\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 8 trang 26 SGK Hình học 12 HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA