Toán 11 Ôn tập chương 2 Tổ hợp

Lý thuyết10 Trắc nghiệm56 BT SGK 480 FAQ

Nội dung bài ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất sẽ giúp các em hệ thống hóa lại toàn bộ kiến thức đã được học ở Chương 2 Đại số và Giải tích 11. Bên cạnh đó các em có thể đánh giá mức độ hiểu bài của mình thông qua bài kiểm tra Trắc nghiệm với những câu hỏi có mức độ khó từ cơ bản đến nâng cao.

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc đếm

1.2. Nhị thức Niu-tơn

1.3. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

1.4. Biến cố - Xác suất của biến cố

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 6 chương 2 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Ôn tập tổ hợp Xác suất

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Ôn tập tổ hợp Xác suất

4. Hỏi đáp về bài 6 chương 2 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Quy tắc đếm

1. Qui tắc cộng

a) Định nghĩa: Xét một công việc \(H\).

- Giả sử \(H\) có \(k\) phương án \({H_1},{H_2},...,{H_k}\) thực hiện công việc \(H\). Nếu có \({m_1}\)cách thực hiện phương án \({H_1}\), có \({m_2}\) cách thực hiện phương án \({H_2}\),.., có \({m_k}\)cách thực hiện phương án \({H_k}\) và mỗi cách thực hiện phương án \({H_i}\) không trùng với bất kì cách thực hiện phương án \({H_j}\) (\(i \ne j;i,j \in \left\{ {1,2,...,k} \right\}\)) thì có \({m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\) cách thực hiện công việc \(H\).

b) Công thức quy tắc cộng

- Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right| + \left| {{A_2}} \right| + ... + \left| {{A_n}} \right|\)

2. Quy tắc nhân

a) Định nghĩa:

- Giả sử một công việc \(H\) bao gồm \(k\) công đoạn \({H_1},{H_2},...,{H_k}\). Công đoạn \({H_1}\) có \({m_1}\) cách thực hiện, công đoạn\({H_2}\) có \({m_2}\) cách thực hiện,…, công đoạn \({H_k}\) có \({m_k}\) cách thực hiện. Khi đó công việc H có thể thực hiện theo \({m_1}.{m_2}...{m_k}\) cách.

b) Công thức quy tắc nhân

- Nếu các tập \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) đôi một rời nhau. Khi đó:

\(\left| {{A_1} \cap {A_2} \cap ... \cap {A_n}} \right| = \left| {{A_1}} \right|.\left| {{A_2}} \right|.....\left| {{A_n}} \right|\).

1.2. Nhị thức Niu-tơn

a) Nhị thức Newton

- Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

\( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

b) Nhận xét

- Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau:

+ Gồm có \(n + 1\) số hạng

+ Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

+ Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

+ Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

- VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

1.3. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

1. Hoán vị

a) Định nghĩa:

- Cho tập \(A\) gồm \(n\) phần tử (\(n \ge 1\)). Khi sắp xếp \(n\) phần tử này theo một thứ tự ta được một hoán vị các phần tử của tập A.

- Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là \({P_n}\).

b) Số hoán vị của tập n phần tử:

- Định lí: Ta có \({P_n} = n!\)

2. Chỉnh hợp

a) Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử và số nguyên \(k\) với \(1 \le k \le n\). Khi lấy \(k\) phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử của A.

b) Số chỉnh hợp

- Kí hiệu \(A_n^k\) là số chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử

- Định lí: Ta có \(A_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!}}\).

3.Tổ hợp

- Cho \(n\) phần tử khác nhau (\(n ≥ 1\)). Mỗi tập con gồm \(k\) phần tử khác nhau (không phân biệt thứ tự) của tập hợp \(n\) phần tử đã cho (\(0 ≤ k ≤ n\)) được gọi là một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho (với quy ước tổ hợp chập \(0\) của n phần tử bất kỳ là tập rỗng).

- Số tổ hợp chập k của n phần tử ký hiệu\(C_n^k:\) \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\)

- Nhận xét:

+ Điều kiện để xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt .

+ Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chổ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì không.

1.4. Biến cố - Xác suất của biến cố

I. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:

- Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức:

\(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So ket qua thuan loi cho A}}}}{{{\rm{So ket qua co the xay ra}}}}\).

- Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)

+ \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)

b) Định nghĩa thống kê của xác suất

- Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

- Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau:

\(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So lan xuat hien cua bien co A}}}}{N}\).

II. Quy tắc cộng xác suất

- Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

+ Mở rộng quy tắc cộng xác suất

- Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:

\(P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_k})\).

+ \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)

+ Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \(P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

III. Quy tắc nhân xác suất

- Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

- Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có P5 = 5! = 120 (cách).

Ví dụ 2:

Từ tập hợp X= {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.

Hướng dẫn giải:

Gọi A= \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}}\) là số cần lập với \({a_1} \ne 0\) và a1, a2, a3, a4 phân biệt.

Chữ số \({a_1} \ne 0\) nên có 5 cách chọn a1.

Chọn 3 trong số 5 chữ số còn lại để sắp xếp vào 3 vị trí có \(A_5^3\) cách.

Vậy có 5.\(A_5^3\) = 300 số có thể lập từ tập hợp X.

Ví dụ 3:

Một xạ thủ bắn liên tục 4 phát đạn vào bia. Gọi \({A_k}\) là các biến cố “ xạ thủ bắn trúng lần thứ \(k\)” với \(k = 1,2,3,4\). Hãy biểu diễn các biến cố sau qua các biến cố \({A_1},{A_2},{A_3},{A_4}:\)

A: “Lần thứ tư mới bắn trúng bia’’.

B: “Bắn trúng bia ít nhất một lần’’.

c: “ Chỉ bắn trúng bia hai lần’’.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\overline {{A_k}} \) là biến cố lần thứ \(k\) (\(k = 1,2,3,4\)) bắn không trúng bia.

Do đó:

\(A = \overline {{A_1}} \cap \overline {{A_2}} \cap \overline {{A_3}} \cap {A_4}\)

\(B = {A_1} \cup {A_2} \cup {A_3} \cup {A_4}\)

\(C = {A_i} \cap {A_j} \cap \overline {{A_k}} \cap \overline {{A_m}} \) với \(i,j,k,m \in \left\{ {1,2,3,4} \right\}\) và đôi một khác nhau.

Ví dụ 4:

Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra \(\overline A \) là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.

Gọi \({B_i}\) là biến cố lần thứ i sinh con gái (\(i = 1,2,3\))

Suy ra \(P({B_1}) = P({B_2}) = P({B_3}) = 0,49\)

Ta có: \(\overline A = {B_1} \cap {B_2} \cap {B_3}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( {{B_1}} \right)P\left( {{B_2}} \right)P\left( {{B_3}} \right) = 1 - {\left( {0,49} \right)^3} \approx 0,88.\)

3. Luyện tập Bài 6 chương 2 giải tích 11

Tổ hợp và Xác suất là khái niệm mà các em đã bước đầu được tìm hiểu ở chương trình THCS. Đến với Đại số và Giải tích 11, các em sẽ được tìm hiểu chi tiết và sâu hơn. Bài học Quy tắc đếm với Quy tắc cộng và Quy tắc nhân sẽ mở đầu cho chương này.

3.1 Trắc nghiệm về Ôn tập Tổ hợp Xác suất

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Ôn tập chương II để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau?
- A. 120
- B. 96
- C. 48
- D. 72
Câu 2:
Cho A={a;b;c}. Số hoán vị của ba phần tử của A là:
- A. 4
- B. 5
- C. 6
- D. 7
Câu 3:
Số hoán vị của n phần tử là:
- A. n
- B. \(n^n\)
- C. (n-1)!
- D. n!

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Ôn tập Tổ hợp Xác suất

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương II sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 76 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 8 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 9 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 10 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 11 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 12 trang 77 SGK SGK Đại số & Giải tích 11