Toán 11 Bài 3: Nhị thức Niu-tơn

Lý thuyếtTrắc nghiệmBT SGK FAQ

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

Quảng cáo

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Nhị thức Newton

Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \)

                  \( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

1.2. Nhận xét

Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau

  • Gồm có \(n + 1\) số hạng
  • Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n
  • Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
  • Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\)
  • Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\)

VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\)

1.3. Hệ quả

Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\)

Từ khai triển này ta có các kết quả sau:

  • \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
  • \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\)

1.4. Bài toán

Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\)      (\(p,q\) là các hằng số khác nhau).

Phương pháp giải:

Ta có:

\({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \)

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\).

Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên.

 Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển

\(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\).

Ta làm như sau:

  • Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \);
  • Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x.
  • Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\).

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

  • Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\);
  • Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\);
  • Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm hệ số x16 trong khai triền ( x2-2x )10.

Hướng dẫn giải: 

Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\)

\(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\)

Ta chọn: 20 - k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\)

=> Hệ số x16 trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\)

Ví dụ 2:

Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1-3x)n là 90. Tìm n.

Hướng dẫn giải: 

Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có:

\({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\)

Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có:

\({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\)

Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\)

\(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) ( loại) hoặc n= 5

Đáp số: n= 5

Ví dụ 3:

Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{    (}}x \ne 0).\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \)

                       \(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \)

Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\)

\( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\).

Ví dụ 4:

Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\).

Hướng dẫn giải:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\)

\( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\)

với\(0 \le i \le k \le 10\).

Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\).

Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).

3. Luyện tập Bài 3 chương 2 giải tích 11

Nội dung bài học sẽ giới thiệu đến các em khái niệm Nhị thức Niu-tơn cùng các dạng bài tập liên quan. Bên cạnh đó là những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

3.1 Trắc nghiệm về Nhị thức Niu-tơn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 8- Câu 21: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Nhị thức Niu-tơn

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 57 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 58 SGK Đại số & Giải tích 11

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 2 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

Quảng cáo

Được đề xuất cho bạn