Toán 11 Bài 5: Xác suất của biến cố

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Xác suất của biến cố

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất

- Cho T là một phép thử ngẫu nhiên với không gian mẫu \(\Omega \) là một tập hữu hạn. Giả sử A là một biến cố được mô ta bằng \({\Omega _A} \subset \Omega \). Xác suất của biến cố A, kí hiệu bởi P(A), được cho bởi công thức: \(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \)\(\frac{{{\rm{So \, ket\, qua\, thuan\, loi\, cho\, A}}}}{{{\rm{So\, ket\, qua\, co\, the\, xay\, ra}}}}\).

- Chú ý: Xác suất của biến cố A chỉ phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi cho A, nên ta đồng nhất \({\Omega _A}\) với A nên ta có : \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}}\)

+ \(P(\Omega ) = 1,{\rm{ }}P(\emptyset ) = 0,{\rm{ }}0 \le P(A) \le 1\)

b) Định nghĩa thống kê của xác suất

- Xét phép thử ngẫu nhiên T và một biến cố A liên quan tới phép thử đó. Nếu tiến hành lặp đi lặp lại N lần phép thử T và thống kê số lần xuất hiện của A

- Khi đó xác suất của biến cố A được định nghĩa như sau: \(P(A) = \)\(\frac{{{\rm{So \, lan \, xuat \, hien \, cua \, bien \, co \, A}}}}{N}\).

1.2. Tính chất của xác suất

a) \(P(\emptyset ) = \,0,P(\Omega ) = \,1\)

b) \(0 \le P(A) \le \,\,1\), với mọi biến cố A.

c) Nếu A và B xung khắc thì:

\(P(A \cup B)\, = \,P(A)\, + \,P(B)\,\) (công thức cộng xác suất).

d) Với mọi biến cố A ta có:

\({\rm{P(}}\overline {\rm{A}} {\rm{) = }}\,{\rm{1 - }}\,{\rm{P(A)}}\)

1.3. Quy tắc cộng xác suất

- Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

+ Mở rộng quy tắc cộng xác suất

- Cho \(k\) biến cố \({A_1},{A_2},...,{A_k}\) đôi một xung khắc. Khi đó:

\(P({A_1} \cup {A_2} \cup ... \cup {A_k}) = P({A_1}) + P({A_2}) + ... + P({A_k})\).

+ \(P(\overline A ) = 1 - P(A)\)

+ Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: \(P(A \cup B) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right)\).

1.4. Quy tắc nhân xác suất

- Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

- Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi \(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Bộ bài tú - lơ khơ có 52 quân bài. Rút ngẫu nhiên ra 4 quân bài. Tìm xác suất của các biến cố:

A: “Rút ra được tứ quý K ‘’.

B: “4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át”.

C: “4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích’’.

Hướng dẫn giải:

Ta có số cách chọn ngẫu nhiên 4 quân bài là: \(C_{52}^4 = 270725\)

Suy ra \(n(\Omega ) = 270725\)

Vì bộ bài chỉ có 1 tứ quý K nên ta có \(n(A) = 1\)

Vậy \(P(A) = \frac{1}{{270725}}\).

Vì có \(C_{48}^4\) cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào,

suy ra \(N(b) = C_{52}^4 - C_{48}^4\)\( \Rightarrow P(B) = \frac{{15229}}{{54145}}\).

Vì trong bộ bài có 13 quân bích, số cách rút ra bốn quân bài mà trong đó số quân bích không ít hơn 2 là: \(C_{13}^2.C_{39}^2 + C_{13}^3C_{39}^1 + C_{13}^4.C_{39}^0 = 69667\)

Suy ra \(n(C) = 69667 \Rightarrow P(C) = \frac{{5359}}{{20825}}\).

Ví dụ 2:

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi. Tìm xác suất để:

a) 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ

b) 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu.

Hướng dẫn giải:

Gọi biến cố A :“ 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”

B : “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”

Số các lấy 3 viên bi từ 20 viên bi là: \(C_{20}^3\) nên ta có: \(\left| \Omega \right| = C_{20}^3 = 1140\)

a) Số cách lấy 3 viên bi màu đỏ là: \(C_8^3 = 56\) nên \(\left| {{\Omega _A}} \right| = 56\)

Do đó: \(P(A) = \frac{{\left| {{\Omega _A}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{56}}{{1140}} = \frac{{14}}{{285}}\).

b) Ta có:

\( \bullet \) Số cách lấy 3 viên bi chỉ có một màu: \(C_8^3 + C_7^3 + C_5^3 = 101\)

\( \bullet \) Số các lấy 3 viên bi có đúng hai màu

Đỏ và xanh: \(C_{15}^3 - \left( {C_8^3 + C_7^3} \right)\)

Đỏ và vàng: \(C_{13}^3 - \left( {C_8^3 + C_5^3} \right)\)

Vàng và xanh: \(C_{12}^3 - \left( {C_5^3 + C_7^3} \right)\)

Nên số cách lấy 3 viên bi có đúng hai màu:

\(C_{15}^3 + C_{13}^3 + C_{12}^3 - 2\left( {C_8^3 + C_7^3 + C_5^3} \right) = 759\)

Do đó: \(\left| {{\Omega _B}} \right| = 860\). Vậy \(P(B) = \frac{{\left| {{\Omega _B}} \right|}}{{\left| \Omega \right|}} = \frac{{43}}{{57}}\).

Ví dụ 3:

Một con súc sắc không đồng chất sao cho mặt bốn chấm xuất hiện nhiều gấp 3 lần mặt khác, các mặt còn lại đồng khả năng. Tìm xác suất để xuất hiện một mặt chẵn.

Hướng dẫn giải:

Gọi \({A_i}\) là biến cố xuất hiện mặt \(i\) chấm \((i = 1,2,3,4,5,6)\)

Ta có \(P({A_1}) = P({A_2}) = P({A_3}) = P({A_5}) = P({A_6}) = \frac{1}{3}P({A_4}) = x\)

Do \(\sum\limits_{k = 1}^6 {P({A_k}) = 1 \Rightarrow 5x + 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{8}} \)

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra \(A = {A_2} \cup {A_4} \cup {A_6}\)

Vì cá biến cố \({A_i}\) xung khắc nên:

\(P(A) = P({A_2}) + P({A_4}) + P({A_6}) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}.\)

Ví dụ 4:

Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51 .Tìm các suất sao cho 3 lần sinh có ít nhất 1 con trai.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố ba lần sinh có ít nhất 1 con trai, suy ra \(\overline A \) là xác suất 3 lần sinh toàn con gái.

Gọi \({B_i}\) là biến cố lần thứ i sinh con gái (\(i = 1,2,3\))

Suy ra \(P({B_1}) = P({B_2}) = P({B_3}) = 0,49\)

Ta có: \(\overline A = {B_1} \cap {B_2} \cap {B_3}\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( {{B_1}} \right)P\left( {{B_2}} \right)P\left( {{B_3}} \right) = 1 - {\left( {0,49} \right)^3} \approx 0,88.\)

3. Luyện tập Bài 5 chương 2 giải tích 11

Ở bài học trước các em đã được tìm hiểu về khái niệm Phép thử và biến cố. Bài học này sẽ giới thiệu đến các em phương pháp tính Xác suất của biến cố, cùng với các ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em dễ dàng làm chủ nội dung bài học.

3.1 Trắc nghiệm về Xác suất của biến cố

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Tung một đồng tiền hai lần. Tìm xác suất để hai lần tung đó một S một N.
- A. \(P(B) = \frac{1}{3}\)
- B. \(P(B) = \frac{1}{4}\)
- C. \(P(B) = 1\)
- D. \(P(B) = \frac{1}{2}\)
Câu 2:
Một bình đựng 16 viên bi ,7 viên bi trắng ,6 viên bi đen,3 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên ba viên bi .Tính xác suất của các biến cố B:“ Lấy cả ba viên bi không có bi đỏ”
- A. \(P(B) = \frac{{143}}{{280}}\)
- B. \(P(B) = \frac{{13}}{{280}}\)
- C. \(P(B) = \frac{{14}}{{280}}\)
- D. \(P(B) = \frac{{13}}{{20}}\)
Câu 3:
Trong một chiếc hộp có 7 viên bi trắng, 8 viên bi đỏ và 10 viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 6 viên bi. Tính xác suất của các biến cố B:“Có ít nhất một viên bi màu vàng”
- A. \(P(B) = \frac{{47}}{{460}}\)
- B. \(P(B) = \frac{7}{{460}}\)
- C. \(P(B) = \frac{{44}}{{461}}\)
- D. \(P(B) = \frac{{447}}{{460}}\)
Câu 4:
Ngân hàng đề thi gồm 100 câu hỏi, mỗi đề thi có 5 câu. Một học sinh học thuộc 80 câu. Tính xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên được một đề thi có 4 câu học thuộc.
- A. \(P\left( A \right) = \frac{{C_{80}^4}}{{C_{100}^5}}\)
- B. \(P\left( A \right) = \frac{{C_{80}^4 + C_{20}^1}}{{C_{100}^5}}\)
- C. \(P\left( A \right) = \frac{{C_{20}^1}}{{C_{100}^5}}\)
- D. \(P\left( A \right) = \frac{{C_{80}^4C_{20}^1}}{{C_{100}^5}}\)

Câu 5-11: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Xác suất của biến cố

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 3 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 4 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 6 trang 74 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 7 trang 75 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2.47 trang 85 SBT Toán 11

Bài tập 2.48 trang 85 SBT Toán 11

Bài tập 2.49 trang 85 SBT Toán 11

Bài tập 2.50 trang 85 SBT Toán 11

Bài tập 2.51 trang 85 SBT Toán 11