YOMEDIA
UREKA

Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai


Nội dung bài học giới thiệu đến các em khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số và mở rộng ra khái niệm đạo hàm cấp cao. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

ADSENSE
YOMEDIA
 

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

a) Đạo hàm cấp hai

Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b).

Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.

Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)

b) Đạo hàm cấp n

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)

\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)

1.2. Ý nghĩa cơ học

Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.

Bài tập minh họa

Ví dụ:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 

a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)

b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).

c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: 

\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)

\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)

b) Ta có: 

\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)

\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)

c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)

\(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)

3. Luyện tập Bài 5 chương 5 giải tích 11

Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm cấp hai nói riêng và đạo hàm cấp cao nói chungBên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

3.1 Trắc nghiệm về Đạo hàm cấp hai

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đạo hàm cấp hai

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5.93 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.94 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.95 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.96 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.97 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.98 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.99 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.100 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.101 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.102 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.103 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.104 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.105 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.106 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.107 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.108 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.109 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.110 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 5.111 trang 216 SBT Toán 11

Bài tập 42 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 44 trang 216 SGK Toán 11 NC

Bài tập 45 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 46 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 47 trang 219 SGK Toán 11 NC

Bài tập 48 trang 219 SGK Toán 11 NC

4. Hỏi đáp về bài 5 chương 5 giải tích 11

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 11 HỌC247

NONE
ADMICRO
 

 

YOMEDIA
OFF