Toán 11 Bài 5: Đạo hàm cấp hai

Lý thuyết10 Trắc nghiệm28 BT SGK 70 FAQ

Nội dung bài học giới thiệu đến các em khái niệm đạo hàm cấp hai của hàm số và mở rộng ra khái niệm đạo hàm cấp cao. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

YOMEDIA

1. Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

1.2. Ý nghĩa cơ học

2. Bài tập minh hoạ

3. Luyện tập bài 5 chương 5 giải tích 11

3.1. Trắc nghiệm về Đạo hàm cấp hai

3.2. Bài tập SGK & Nâng cao về Đạo hàm cấp hai

4. Hỏi đáp về bài 5 chương 5 giải tích 11

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

a) Đạo hàm cấp hai

- Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

- Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b).

- Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x.

- Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\)

b) Đạo hàm cấp n

- Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\)

\({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\)

1.2. Ý nghĩa cơ học

- Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t.

Bài tập minh họa

Ví dụ:

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\)

b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\).

c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\)

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

\(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\)

\(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\)

b) Ta có:

\(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\)

\(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\)

\(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\)

c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\)

\(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)

3. Luyện tập Bài 5 chương 5 giải tích 11

Trong phạm vi bài học đã giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Đạo hàm cấp hai nói riêng và đạo hàm cấp cao nói chung. Bên cạnh đó còn có những ví dụ minh họa có lời giải chi tiết sẽ giúp các em nắm được phương pháp tính đạo hàm cấp hai của hàm số.

3.1 Trắc nghiệm về Đạo hàm cấp hai

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 1:
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{3}{4}{x^4} - 2{x^3} - 5x + \sin x\) bằng biểu thức nào sau đây?
- A. 9x²-12x+sinx
- B. 9x²-12x-sinx
- C. 9x²-6x-sinx
- D. 9x²-12x+cosx
Câu 2:
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{2x - 3}}\) bằng biểu thức nào dưới đây?
- A. \(\frac{8}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}\)
- B. \(\frac{{ - 8}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)
- C. \(\frac{4}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)
- D. \(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\)
Câu 3:
Đạo hàm cấp hai của hàm số y=cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?
- A. cos2x+ 4cos4x +9cos6x
- B. –cos2x -4cos4x – 9cos6x
- C. –cosx-4cos2x-9cos3x
- D. \( - \frac{1}{4}{\rm{cos}}2x + \frac{1}{4}{\rm{cos}}4x - \frac{1}{4}{\rm{cos}}6x\)

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về Đạo hàm cấp hai

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 2 trang 174 SGK Đại số & Giải tích 11

Bài tập 5.93 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.94 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.95 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.96 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.97 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.98 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.99 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.100 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.101 trang 215 SBT Toán 11

Bài tập 5.102 trang 215 SBT Toán 11