Giải bài tập Toán 11 Ôn tập chương II Tổ hợp Xác suất

Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ áp dụng.

Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng.

Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập k của n phần tử và một tổ hợp chập k của n phần tử.

Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số được tạo thành từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 sao cho:

a) Các chữ số có thể giống nhau

b) Các chữ số khác nhau.

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho:

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau

b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau

Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho:

a) Bốn quả lấy ra cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

Gieo một con súc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần.

Cho một lúc giác đề ABCDEF. Viết các chữ cái ABCDEF vào 6 cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là:

a) Các cạnh của lục giác

b) Đường chéo của lục giác

c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn

b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ.

Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con. Số cách lấy là:

A. 104         B. 1326              C. 450         D. 24        

Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là:

A. 50                       B. 100                    C. 120                 D. 24

Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là:

A. \(\frac{12}{36}\)           B. \(\frac{11}{36}\)      C. \(\frac{6}{36}\)       D. \(\frac{8}{36}\)

Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là:

A. \(\frac{9}{30}\)            B.\(\frac{12}{30}\)           C.\(\frac{10}{30}\)           D. \(\frac{6}{30}\)

Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là:

A. \(\frac{12}{216}\)              B. \(\frac{1}{216}\)            C. \(\frac{6}{216}\)                 D. \(\frac{3}{216}\)

Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là:

A. \(\frac{4}{16}\)            B. \(\frac{2}{16}\)        C. \(\frac{1}{16}\)            D. \(\frac{6}{16}\)

Xếp ngẫu nhiên ba người đàn ông, hai người đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho

a) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà;

b) Đứa bé ngồi giữa hai người đàn ông.

Có bao nhiêu cách xếp 7 người vào hai dãy ghế sao cho dãy ghế đầu có 4 người và dãy sau có 3 người?

Tính xác suất sao cho trong 13 con bài tú lơ khơ được chia ngẫu nhiên cho bạn Bình có 4 con pích, 3 con rô, 3 con cơ và 3 con nhép.

Giả sử A và B là hai biến cố \(\frac{{P\left( {A \cup B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = a\). Chứng minh rằng

a) \(\frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right) + P\left( B \right)}} = 1 - a\) ;

b) \(\frac{1}{2} \le a \le 1\).

Hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp một quả. Tính xác suất sao cho

a) Cả hai quả đều đỏ;

b) Hai quả cùng màu;

c) Hai quả khác màu.

Cho 5 đoạn thẳng với các độ dài 3,5,7,9,11. Chọn ngẫu nhiên ra ba đoạn thẳng.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Xác định biến cố A: "Ba đoạn thẳng chọn ra tạo thành một tam giác" và tính xác suất của A.

Một phòng làm việc có 2 máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của 2 máy này tương ứng là 75% và 85%. Xác suất để 2 máy tính cùng hoạt động tốt trong ngày là :

A. 0,5375                B. 0,6375

C. 0,7375                D. 0,8375

Một phòng làm việc có 2 máy tính hoạt động độc lập với nhau. Khả năng hoạt động tốt trong ngày của 2 máy này tương ứng là 75% và 85%. Xác suất để có đúng một máy hoạt động không tốt trong ngày là :

A. 0,325

B. 0,425

C. 0,525

D. 0,625

Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để cả ba học sinh này cùng vào một quầy là:

A. \(\frac{1}{9}\)                           B. \(\frac{2}{9}\)

C. \(\frac{1}{{27}}\)                         D. \(\frac{2}{{27}}\)

Có ba học sinh vào ba quầy sách để mua sách. Xác suất để có hai học sinh vào cùng một quầy, học sinh còn lại vào một trong hai quầy còn lại là:

A. \(\frac{1}{3}\)                      B. \(\frac{2}{3}\)

C. \(\frac{1}{4}\)                      D. \(\frac{1}{6}\)

Một cuộc điều tra được tiến hành như sau : Chọn ngẫu nhiên một bạn học sinh trên đường và hỏi xem gia đình bạn đó có bao nhiêu người. Gọi X là số người trong gia đình bạn học sinh đó. Hỏi X có phải là biến ngẫu nhiên rời rạc không ? Vì sao ?

Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trai trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X (giả thiết là xác suất sinh con trai là 0,5).

Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Biết rằng, nếu có hơn 2 ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực .

a. Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy.

b. Tính xác suất để có ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy.

Số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong khoảng thời gian 1 phút vào buổi trưa (từ 12 giờ đến 13 giờ) là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất sau :

Tính xác suất để trong khoảng thời gian từ 12 giờ 30 phút đến 12 giờ 31 phút có nhiều hơn hai cuộc gọi.

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 44 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 45 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X trong bài tập 46 (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm trẻ gồm 6 trai và 4 gái. Gọi X là số bé gái trong số 3 đứa trẻ được chọn. Lập bảng phân bố xác suất của X.

Số đơn đặt hàng đến trong một ngày ở một công ty vận tải là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a. Tính xác suất để số đơn đặt hàng thuộc đoạn [1 ; 4].

b. Tính xác suất để có ít nhất 4 đơn đặt hàng đến công ty đó trong một ngày.

c. Tính số đơn đặt hàng trung bình đến công ty đó trong một ngày.

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

a. Tính P(2 < X < 7)

b. Tính P(X > 5)

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính E(X), V(X) và σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính E(X), V(X) và σ(X) (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số (không phải nhất thiết khác nhau) ?

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập nên bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau?

Xét hồ sơ mạng điện có 9 công tắc, trong đó mỗi công tắc có hai trạng thái đóng và mở.

a. Hỏi mạng điện có thể có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên ?

b. Hỏi mạng điện có bao nhiêu cách đóng – mở 9 công tắc trên để thông mạch từ A đến B (tức là có dòng điện đi từ A đến B) ?

Trong không gian cho tập hợp gồm 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với đỉnh thuộc tập hợp đã cho ?

Một câu lạc bộ có 25 thành viên.

a. Có bao nhiêu cách chọn 4 thành viên vào Ủy ban Thường trực ?

b. Có bao nhiêu cách chọn Chủ tịch, Phó Chủ tịch và Thủ quỹ ?

Tìm hệ số của x⁸y⁹ trong khai triển của (3x+2y)¹⁷

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn 1000. Tính xác suất để số đó :

a. Chia hết cho 3

b. Chia hết cho 5

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có quân 2 rô, quân 3 pích, quân 6 cơ, quân 10 nhép và quân K cơ.

Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 quân bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này có ít nhất một quân át (tính chính xác đến hàng phần nghìn).

Có hai hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để tổng các số ghi trên hai tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3.

Có 3 hòm, mỗi hòm chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm một tấm thẻ. Tính xác suất để :

a. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 4

b. Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ rút ra bằng 6.

Số lỗi đánh máy trên một trang sách là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau:

Tính xác suất để:

a. Trên trang sách có nhiều nhất 4 lỗi;

b. Trên trang sách có ít nhất 2 lỗi.

Có hai túi, túi thứ nhất chứa ba tấm thẻ đánh số 1, 2, 3 và túi thứ hai chứa bốn tấm thẻ đánh số 4, 5, 6, 8. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi một tấm thẻ rồi cộng hai số ghi trên hai tấm thẻ với nhau. Gọi X là số thu được.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X;

b. Tính E(X).

Một nhóm có 7 người trong đó gồm 4 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên 3 người. Gọi X là số nữ trong 3 người được chọn.

a. Lập bảng phân bố xác suất của X.

b. Tính E(X) và V(X) (tính chính xác đến hàng phần trăm).

Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà các chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần (kể từ trái sang phải) bằng :

A. 120

B. 168

C. 204

D. 216

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác, cần chọn một kỹ sư làm tổ trưởng, một công nhân làm tổ phó và 5 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

A. 3780

B. 3680

C. 3760

D. 3520

Với các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau (chữ số đầu tiên phải khác 0) ?

A. 1250

B. 1260

C. 1280

D. 1270

Tìm hệ số của \({x^9}\) sau khi khai triển và rút gọn đa thức :

\({\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}} + ... + {\left( {1 + x} \right)^{14}}\)

A. 3001

B. 3003

C. 3010

D. 2901

Hai xạ thủ độc lập với nhau cùng bắn vào một tấm bia. Mỗi người bắn một viên. Xác suất bắn trúng của xạ thủ thứ nhất là 0,7; của xạ thủ thứ hai là 0,8. Gọi X là số viên đạn trúng bia. Tính kỳ vọng của X.

A. 1,75

B. 1,5

C. 1,54

D. 1,6