Toán 10 Bài 5: Dấu của tam thức bậc hai


Tương tự như bài Dấu của nhị thức bậc nhất, nội dung bài học Dấu của tam thức bậc hai sẽ giới thiệu đến các em cách xét xem một biểu thức bậc hai f(x) đã cho nhận giá trị âm ( hoặc dương) với những giá trị nào của x cũng như xét dấu tích, thương các tam thức bậc hai và phương pháp để giải bất phương trình bậc hai

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

1.1.1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai đối với  là biểu thức có dạng \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\) trong đó \(a,b,c\) là những hệ số \(,a \ne 0.\)

Ví dụ 1: Hãy cho biết có bao nhiêu tam thức bậc hai?

\(\begin{array}{l}
a.f(x) = {x^2} - 1\\
b.f(x) = {(x - 1)^2}\\
c.f(x) = (x - 1)(x - 2)\\
d.f(x) = {x^2}({x^2} - 1)
\end{array}\)

Đáp án: 3

Chú ý: Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) cũng là nghiệm của tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\;(\Delta ' = b{'^2} - ac)\) được gọi là biệt thức(biệt thức thu gọn ) của tam thức bậc hai.

1.1.2. Dấu của tam thức bậc hai

Định lí: Cho \(f(x) = a{x^2} + bx + c,\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in R\)

Nếu  \(\Delta  = 0\) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Nếu \(\Delta  > 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi \(x < {x_1}\) hoặc \(x > {x_2}\) trái dấu với hệ số a khi \({x_1} < x < {x_2}\) trong đó \({x_1},{x_2}\left( {{x_1} < {x_2}} \right)\) là hai nghiệm của f(x)

Các kết quả trên được thể hiện qua các bảng sau:

+ Với \(\Delta  < 0\)

+ Với \(\Delta  = 0\)

+ Với \(\Delta  > 0\)

 

* Cách xét dấu tam thức bậc hai

+ Tìm nghiệm tam thức (bấm máy)

+ Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a.

+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

1.2. Bất phương trình bậc hai một ẩn 

1.2.1. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c < 0\) (hoặc

\(a{x^2} + bx + c \le 0,a{x^2} + bx + c > 0,a{x^2} + bx + c \ge 0\)), trong đó \(a,b,c\) là những số thực đã cho \(,a \ne 0.\).

Ví dụ 2: \({x^2} - 1 < 0;2{x^2} - 5x + 2 > 0\)

1.2.2. Giải bất phương trình bậc hai 

Giải bất phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c < 0\) thực chất là tìm các khoảng mà trong đó \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) cùng dấu với hệ số a ( trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a ( trường hợp a > 0)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Xét dấu tam thức \(f(x) =  3{x^2} + 2x - 5.\)

Hướng dẫn:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
3{x^2} + 2x - 5 = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - \frac{5}{3}\\
x = 1
\end{array} \right..
\end{array}\)

Hệ số a = 3 > 0

Bảng xét dấu

Kết luận

\(\begin{array}{l}
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \frac{5}{3};1} \right)\\
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - \frac{5}{3}} \right) \cup (1; + \infty ).
\end{array}\)

Ví dụ 2: Xét dấu biểu thức \(f(x) = \frac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} - 1}}\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}
{x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x =  - 1(a = 1 > 0)\\
{x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
x = 1
\end{array} \right.(a = 1 > 0)
\end{array}\)

Bảng xét dấu 

Kết luận 

\(\begin{array}{l}
f(x) > 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\\
f(x) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)
\end{array}\)

Ví dụ 3: Giải bất phương trình \( - 3{x^2} + 7x - 4 < 0\)

Hướng dẫn:

Ta đặt \(f(x) =  - 3{x^2} + 7x - 4\)

\({ - 3{x^2} + 7x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right.}\)

Hệ số a = -3 < 0

Bảng xét dấu 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(T = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)

3. Luyện tập Bài 5 chương 4 đại số 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 giới thiệu đến các em khái niệm cơ bản về Dấu của tam thức bậc hai và phương pháp để giải bất phương trình bất phương trình bậc hai một ẩn 

3.1 Trắc nghiệm về dấu của tam thức bậc hai 

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Bài 5 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 4- Câu 9: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2. Bài tập SGK và Nâng Cao về dấu của tam thức bậc hai 

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Bài 5 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 105 SGK Đại số 10

Bài tập 2 trang 105 SGK Đại số 10

Bài tập 3 trang 105 SGK Đại số 10

Bài tập 4 trang 105 SGK Đại số 10

4. Hỏi đáp về bài 5 chương 4 đại số 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Được đề xuất cho bạn