Hình học 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng


Phương trình đường thẳng là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được hiểu thêm cách viết phương trình dựa vào công cụ đã học của toán THPT đó là dùng các vector...

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow u \) được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng \(\Delta\) nếu \(\overrightarrow u  \ne \overrightarrow 0 \) và có giá song song hoặc trùng với đường thẳng \(\Delta\) 

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\). Phương trình tham số của \(\Delta\):
                                         \(\left\{ \begin{array}{l}
                                           x = {x_0} + t{u_1}\\
                                           y = {y_0} + t{u_2}
                                           \end{array} \right.\)

Cho t một giá trị cụ thể thì ta xác định được một điểm trên \(\Delta \).

Liên hệ giữa VTCP và hệ số góc của đường thẳng

Cho \(\Delta\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\) với \({u_1} \ne 0\) thì có hệ số góc là \(k = \frac{{{u_1}}}{{{u_2}}}\)

Phương trình \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và có hệ số góc k: 

                                                y-y0=k(x-x0)

1.2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \), có giá vuông góc với đường thẳng \(\Delta\) gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng \(\Delta\)

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua M0(x0;y0) và nhận làm vectơ pháp tuyến thì phương trình tổng quát của \(\Delta\) là:

                             \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Tổng quát: Phương trình ax+by+c=0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: Nếu đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0 thì có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là và VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\)

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

Đường thẳng \(by+c=0\) song song hoặc trùng với Ox
Đường thẳng \(ax+c=0\) song song hoặc trùng với Oy
Đường thẳng \(ax+by=0\) đi qua gốc tọa độ

1.3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai phương trình đường thẳng:                        

\(\begin{array}{l} {\Delta_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\ {\Delta_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0 \end{array}\)

Tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\
{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0
\end{array} \right.{\rm{    }}\left( {\rm{I}} \right)\)

Ta có các trường hợp:

a) Hệ (I) có một nghiệm (x0;y0) thì \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) tại điểm M0(x0;y0)
b) Hệ (I) vô số nghiệm thì \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\)
c) Hệ (I) vô nghiệm thì \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\)

1.4. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {{a_1};{b_1}} \right)\))

\({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) (có VTPT \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {{a_2};{b_2}} \right)\))

\({\rm{cos}}\widehat {\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)} = c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)

1.5. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình là ax+by+c=0
 
                          \(d\left( {{M_0},\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Hãy tìm tọa độ của VTCP của đường thẳng có phương trình 3x + 4y + 5 = 0

Hướng dẫn:

Đường thẳng có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) suy ra VTCP là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\)

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua 2 điểm A(-2;3) và B(5;-6)

Hướng dẫn:

(d) đi qua A(-2;3) và có VTCP là \(\overrightarrow {AB}  = \left( {7; - 9} \right)\) suy ra VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {9;7} \right)\)

PTTQ của (d) có dạng:

               \(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9\left( {x + 2} \right) + 7\left( {y - 3} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow 9x + 7y - 3 = 0
\end{array}\)

Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối của \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) với mỗi đường thẳng sau:

                                            \(\begin{array}{l}
                                              {d_1}: - 3x + 6y - 3 = 0\\
                                              {d_2}:y =  - 2x
                                               \end{array}\)

Hướng dẫn:

Xét \(\Delta \) với d1, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
 - 3x + 6y - 3 = 0
\end{array} \right.\)

có vô số nghiệm vì các hệ số của 2 phương trình tỉ lệ)

Suy ra \(\Delta  \equiv {d_1}\)

Xét \(\Delta \) với d2, hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y + 1 = 0\\
y =  - 2x
\end{array} \right.\)

có nghiệm \(\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Suy ra \(\Delta \) cắt d2 tại \(M\left( { - \frac{1}{5};\frac{2}{5}} \right)\)

Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M(-2;1) đến đường thẳng \(\Delta \) có phương trình 3x - 2y - 1 = 0

Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

\(d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3.\left( { - 2} \right) - 2.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt 5 }}{5}\)

3. Luyện tập Bài 1 chương 3 hình học 10

Phương trình đường thẳng là một khái niệm mà các em đã được tiếp cận từ những lớp nhỏ. Thông qua bài học này các em sẽ được hiểu thêm cách viết phương trình dựa vào công cụ đã học của toán THPT đó là dùng các vector...

3.1 Trắc nghiệm về phương trình đường thẳng

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Chương 3 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình đường thẳng

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 2 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 3 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 4 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 5 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 6 trang 80 SGK Hình học 10

Bài tập 7 trang 81 SGK Hình học 10

Bài tập 8 trang 81 SGK Hình học 10

Bài tập 9 trang 81 SGK Hình học 10

4. Hỏi đáp về bài 1 chương 3 hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Được đề xuất cho bạn