Hình học 10 Bài 3: Phương trình đường elip


Trong bài học này chúng ta sẽ được học về khái niệm Phương trình đường elip. Với bài học này, chúng ta sẽ hiểu khái niệm về phương trình chính tắc của đường elip, hình dạng một elip và liên hệ giữa đường tròn và đường elip.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Định nghĩa đường elip

Cho hai điểm cố định F1, F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho 

                                                        F1M+F2M=2a

Các điểm F1 và F2 gọi là các tiêu điểm của elip. Độ dài F1F2 gọi là tiêu cự của elip.

1.2. Phương trình chính tắc của elip

Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy sa cho F1=(-c;0) và F2=(c;0). Khi đó phương trình chính tắc của elip là:

\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

trong đó b= a- c2

1.3. Hình dạng của elip

+ (E) có trục đối xứng là Ox, Oy và có tâm đối xứng là O

+ Các điểm A1, A2, B1, B2 gọi là các đỉnh của elip

+ Đoạn thẳng A1A2 gọi là trục lớn, đoạn thẳng B1B2 gọi là trục nhỏ của elip.

1.4. Liên hệ giữa đường tròn và đường elip

+ Từ hệ thức b= a- cta thấy nếu tiêu cự càng nhỏ thì b càng gần a, tức là trục nhỏ của elip càng gần trục lớn. Lúc đó elip có dạng gần như đường tròn.

+ Cho đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} = {a^2}\)

Với mỗi điểm M(x;y) thuộc đường tròn, xét điểm M'(x';y') sao cho \(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x\\
y' = \frac{b}{a}y
\end{array} \right.\left( {0 < b < a} \right)\)

thì tập hợp các điểm M' có tọa độ thỏa phương trình \(\frac{{{x'^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y'^2}}}{{{b^2}}} = 1\) là một elip (E) 

Ta nói đường tròn (C) được co thành elip (E).

Bài tập minh họa

Ví dụ 1: Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của elip có phương trình

\(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hướng dẫn:

Ta có a= 9⇒ a = 3, b= 1 ⇒ b = 1

Vậy c= a- b= 9 - 1 = 8 ⇒ c = \(2\sqrt 2 \)

Độ dài trục lớn là A1A= 2a = 6

Độ dài trục nhỏ là: B1B= 2b = 2

Tiêu điểm là: \({F_1}\left( { - 2\sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {2\sqrt 2 ;0} \right)\)

Tọa độ các đỉnh là \({A_1}\left( { - 3;0} \right),{A_2}\left( {3;0} \right),{B_1}\left( {0; - 1} \right),{B_2}\left( {0;1} \right)\)

Ví dụ 2: Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a) (E) đi qua điểm \(M\left( {\frac{3}{{\sqrt 5 }};\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)\) và M nhìn hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) dưới một góc vuông.

b) (E) đi qua \(M\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)\) và một tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o.

Hướng dẫn:

a) Do (E) đi qua M nên \(\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\) (1); Lại có \({\widehat {{F_1}MF}_2} = {90^0} \Leftrightarrow OM = \frac{1}{2}{F_1}{F_2} = c \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Như vậy ta có  hệ điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{9}{{5{a^2}}} + \frac{{16}}{{5{b^2}}} = 1\\
{a^2} - {b^2} = 5
\end{array} \right.\). Giải hệ ta được \({a^2} = 9;{b^2} = 4 \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

b) Tiêu điểm F nhìn trục nhỏ dưới góc 60o nên tam giác FB1B2 đều (B1, B2 là hai đỉnh trên trục nhỏ), suy ra \(c = b\sqrt 3  \Rightarrow a = 2b\), từ đó tìm ra \((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{{\frac{9}{4}}} = 1\)

Ví dụ 3: Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M \in (E)\) sao cho \(M{F_1} = 2M{F_2}\).

Hướng dẫn:

Gọi \(M(x;y) \Rightarrow M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x;M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\). Từ \(M{F_1} = 2M{F_2} \Rightarrow x = \frac{4}{{3\sqrt 3 }}\)

Từ đó tìm ra \(y =  \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}\). Vậy có hai điểm M cần tìm là \(M\left( {\frac{4}{{3\sqrt 3 }}; \pm \frac{{\sqrt {23} }}{{3\sqrt 3 }}} \right)\).

3. Luyện tập Bài 3 chương 3 hình học 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường elip và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến đường elip.

3.1 Trắc nghiệm về phương trình đường elip

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 8- Câu 20: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình đường elip

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 88 SGK Hình học 10

Bài tập 2 trang 88 SGK Hình học 10

Bài tập 3 trang 88 SGK Hình học 10

Bài tập 4 trang 88 SGK Hình học 10

Bài tập 5 trang 88 SGK Hình học 10

4. Hỏi đáp về bài 3 chương 3 hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Được đề xuất cho bạn