Giải bài tập Hình học 10 Chương 3 Bài 1 Phương trình đường thẳng

Lập phương trình tham số của đường thẳng \(d\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(d\) đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (3;4)\)

b) \(d\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\) và có vec tơ pháp tuyến \(\vec n = (5;1)\)

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau: 

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 5; - 8)\) và có hệ số góc \(k =  - 3\)

b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A(2;1)\) và \(B( - 4;5)\)

Cho tam giác ABC, biết \(A(1;4),B(3; - 1)\) và \(C(6;2)\)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA 

b) Lập phương trinh tổng quát của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM 

Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(M(4;0)\) và \(N(0; - 1)\).

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây: 

Cho đường thẳng d có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.\)

Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) lần lượt có phương trình: \({d_1}:4x - 2y + 6 = 0\) và \({d_2}:x - 3y + 1 = 0\)

Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: 

Tìm bán kính của đường tròn tâm \(C( - 2; - 2)\) và tiếp xúc với đường thẳng 

Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) d đi qua điểm A(-5; -2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {4; - 3} \right)\)

b) d đi qua hai điểm\(A\left( {\sqrt 3 ;1} \right)\) và \(B\left( {2 + \sqrt 3 ;4} \right)\)

Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = 3 + t
\end{array} \right.\)

a) Tìm điểm M nằm trên Δ và cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5.

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ với đường thẳng x + y + 1 = 0

c) Tìm M trên Δ sao cho AM ngắn nhất.

Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ đi qua điểm M(1;1) và có vectơ pháp tuyến vectơ n = (3; -2);

b) Δ đi qua điểm A(2;-1) và có hệ số góc k = \( - \frac{1}{2}\);

c) Δ đi qua hai điểm A(2;0) và B(0;-3).

Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1; 0), N(4; 1), P(2; 4).

Cho M(1; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng đi qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau.

Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x - 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y - 15 = 0, đường cao BH: 3x - 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.

Cho tam giác ABC có A(-2; 3) và hai đường trung tuyến: 2x - y + 1 = 0 và x + y - 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.

Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc: Δ₁: mx + y + q = 0 và Δ₂: x - y + m = 0 ?

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1 - 5t\\
y = 2 + 4t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 6 + 5t'\\
y = 2 - 4t'
\end{array} \right.\)

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 4t\\
y = 2 + 2t
\end{array} \right.\) và d': 2x + 4y - 10 = 0

c) d: x + y - 2 = 0 và d': 2x + y - 3 = 0

Tìm góc giữa hai đường thẳng d₁: x + 2y + 4 = 0 và d₂: 2x - y + 6 = 0

Tính bán kính của đường tròng có tâm là điểm I(1; 5) và tiếp xúc với đường thẳng Δ: 4x - 3y + 1 = 0.

Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng:

    Δ₁: 2x + 4y + 7 = 0 và Δ₂: x - 2y - 3 = 0.

Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:

    Δ₁: 5x + 3y - 3 = 0 và Δ₂: 5x + 3y + 7 = 0

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2) và B(5; 4).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình y = m (m ≠ 0);

b) Đường thẳng có phương trình x = m²+1 song song với trục Oy;

c) Phương trình y = kx+b là phương trình của đường thẳng;

d) Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng y = kx+b;

e) Đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) có phương trình xa+yb = 1

Viết phương trình tổng quát của:

a) Đường thẳng Ox;

b) Đường thẳng Oy;

c) Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và song song với Ox;

d) Đường thẳng đi qua M(x₀;y₀) và vuông góc với Ox;

e) Đường thẳng OM, với M(x₀;y₀) khác điểm O.

Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là

AB: 2x−3y−1 = 0; BC: x+3y+7 = 0; CA: 5x−2y+1 = 0. 

Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.

Cho hai điểm P(4;0), Q(0;−2).

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(3;2) và song song với đường thẳng PQ;

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng

a) 2x−5y+3 = 0 và 5x+2y−3 = 0;

b) x−3y+4 = 0 và 0,5x−1,5y+4 = 0;

c) 10x+2y−3 = 0 và 5x+y−1,5 = 0.

Cho đường thẳng

\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 2t
\end{array} \right.\)

Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

a) Điểm A(−1,−4) thuộc Δ.

b) Điểm B(8,14) thuộc Δ, điểm C(8,−14) thuộc Δ.

c) Δ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right)\).

d) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;- 2} \right)\).

e) Phương trình \(\frac{{x - 8}}{3} = \frac{{y + 14}}{{ - 6}}\) là phương trình chính tắc của \(\Delta\).

f) Phương trình \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{{ - 2}}\) là phương trình chính tắc của \(\Delta\).

Cho đường thẳng Δ: ax+by+c = 0. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của Δ.

b) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - b;a} \right)\).

c) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { kb;ka} \right)\) với k ≠ 0 .

d) Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { 5b;-5a} \right)\).

e) Đường thẳng vuông góc với Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { a;b} \right)\).

Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc (nếu có) và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau

a) A(−3;0), B(0;5);

b) A(4;1), B(4;2);

c) A(−4;1), B(1;4).

Cho điểm A(-5, 2) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{{ - 2}}} \right.\). Hãy viết phương trình đường thẳng:

a) Đi qua A và song song với Δ;

b) Đi qua A và vuông góc với Δ .

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau đây và tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của chúng

a) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 4 - 2t\\
y = 5 - t
\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + 6t'\\
y = 4 - 3t'
\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y =  - 3 + 2t
\end{array} \right.\) và \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y + 7}}{3}\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y =  - 1 - t
\end{array} \right.\) và \(x + y - 4 = 0\)

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3;- 2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sau

a) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1
\end{array} \right.\)

b) \(\Delta :\frac{{x - 1}}{3} = \frac{y}{{ - 4}}\)

c) Δ: 5x−12y+10 = 0.

Trên đường thẳng Δ: x−y+2 = 0. Tìm điểm M cách đều hai điểm E(0;4) và F(4;-9).

Cho hình bình hành có tọa độ một đỉnh là (4;-1). Biết phương trình các đường thẳng chứa hai cạnh là x - 3y = 0 và 2x + 5y +6 = 0. Tìm tọa độ ba đỉnh còn lại của hình bình hành đó.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) Côsin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng.

b) Nếu hai đường thẳng Δ và Δ′ lần lượt có phương trình px+y+m = 0 và x+py+n = 0 thì:

\(\cos \left( {\Delta ,\Delta '} \right) = \frac{{2\left| p \right|}}{{{p^2} + 1}}\).

c) Trong tam giác ABC ta có:

\(\cos A' = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)

d) Nếu φ là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB, AC của tam giác ABC thì:

\(\cos \varphi  = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}}\)

e) Hai điểm (7, 6) và (-1, 2) nằm về hai phía của đường thẳng

Cho ba điểm A(4;−1), B(−3;2), C(1;6). Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c = 0 một khoảng bằng h cho trước.

Cho ba điểm A(3;0), B(−5;4) và P(10;2). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.

Cho điểm M(2, 3). Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho  là tam giác vuông cân tại đỉnh M.

Cho hai đường thẳng:

Δ₁: x+2y−3 = 0

Δ₂: 3x−y+2 = 0

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm P(3, 1) và cắt Δ1, Δ2 lần lượt ở A, B sao cho Δ tạo với Δ₁ và Δ₂ một tam giác cân có cạnh đáy là AB.

Cho phương trình

x²+y²+px+(p−1)y = 0  (1)

Hỏi trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

a) (1) là phương trình của một đường tròn.

b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.

c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { - \frac{p}{2}; - \frac{{p - 1}}{2}} \right)\) và bán kính \(R = \frac{1}{2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \).