Hình học 10 Bài 2: Phương trình đường tròn


Trong bài học này chúng ta sẽ được học về khái niệm Phương trình đường tròn - bài kế tiếp cho chương trình hình học lớp 10. Với bài học này, chúng ta sẽ hiểu khái niệm về phương trình đường tròn, phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn.

Tóm tắt lý thuyết

1.1. Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R.
Ta có \(M\left( {x;y} \right) \subset \left( C \right) \Leftrightarrow IM = R\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2}} = R\\ \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2} \end{array}\)
Vì vậy, phương trình \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) được gọi là phương trình đường tròn tâm I(a;b) bán kính R

Chú ý:

Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và có bán kính R là: \({x^2} + {y^2} = {R^2}\)

1.2. Nhận xét

Phương trình đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) có thể viết lại dưới dạng \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) trong đó \(c=a^2+b^2-R^2\).

Ngược lại, phương trình \({x^2} + {y^2} - 2{\rm{ax}} - 2by + c = 0\) là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} - c > 0\). Khi đó đường tròn (C) có tâm I(a;b) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

1.3. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn


Cho điểm \(M_0\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nằm trên đường tròn tâm I(a;b). Gọi \(\Delta\) là tiếp tuyến của (C) tại \(M_0\)
Ta có \(M_0\) thuộc \(\Delta\) và vectơ \(\overrightarrow {I{M_0}} = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của \(\Delta\). Do đó, \(\Delta\) có phương trình là:
\(\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)
Đây chính là phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} = {R^2}}\) tại điểm \(M_0\) trên đường tròn.

 

Bài tập minh họa

Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:
a) \({x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\)
b) \(4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\)
Hướng dẫn:
a) \(\begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 8{\rm{x}} - 6y + 16 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 8{\rm{x}} + 16 + {y^2} - 6y + 9 = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = {3^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm I(-4;3) và bán kính R = 3.
b) \(\begin{array}{l} 4{x^2} + 4{y^2} + 5{\rm{x}} - 16y + 10 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + \frac{{5{\rm{x}}}}{4} - 4y + \frac{5}{2} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.x.\frac{5}{8} + \frac{{25}}{{64}} + {y^2} - 4y + 4 = \frac{{121}}{{64}}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{8}} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {\frac{{11}}{8}} \right)^2} \end{array}\)
Nên đường tròn có tâm \(I\left( {\frac{{ - 5}}{8};2} \right)\) và bán kính \(R = \frac{{11}}{8}\)

Bài 2: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: A(1;2), B(3;4) C(1;6)
Hướng dẫn: Tâm I của đường tròn này là giao điểm của đường trung trực của AB và BC.
ptđt trung trực  AB: x + y - 5 = 0
ptđt trung trực BC: x - y + 3 = 0
Nên tâm I (1;4) và R = 2
Vậy phương trình đường tròn: (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 4\)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4{\rm{x}} - 6y + 3 = 0\) có tâm I và đường thẳng \(d:x - 2y - 11 = 0\). Tìm hai điểm A và B trên đường tròn (C) sao cho AB song song với d và tam giác IAB là tam giác vuông cân.
Hướng dẫn:

3. Luyện tập Bài 2 chương 3 hình học 10

Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Phương trình đường tròn và phương pháp để lập phương trình của một đường tròn cùng các dạng toán liên quan đến đường tròn.

3.1 Trắc nghiệm về phương trình đường tròn

Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 10 Bài 2 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

Câu 7- Câu 15: Xem thêm phần trắc nghiệm để làm thử Online 

3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về phương trình đường tròn

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Hình học 10 Bài 2 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.

Bài tập 1 trang 83 SGK Hình học 10

Bài tập 2 trang 83 SGK Hình học 10

Bài tập 3 trang 83 SGK Hình học 10

Bài tập 4 trang 83 SGK Hình học 10

Bài tập 5 trang 83 SGK Hình học 10

Bài tập 6 trang 84 SGK Hình học 10

4. Hỏi đáp về bài 2 chương 3 hình học 10

Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em. 

-- Mod Toán Học 10 HỌC247

Được đề xuất cho bạn